* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 13 правила, посредством которого устанавливается соответствие: важно лишь, чтобы такого рода правило было указано. В частности, правило соответствия может иметь «эмпирический» харак­ тер; так, если говорят о температуре как функции времени, то правило заключается в том, чтобы в назначенный момент времени зафиксировать показание термометра. В преподавании элементарной математики имеют особенно важное, если не исключительное, значение такие функции, для которых правило соответ­ ствия носит «оперативный» или «аналитический» характер: оно указывает, в надлежащем порядке, те м а т е м а т и ч е с к и е д е й с т в и я ( о п е р а ц и и), которые надо совершить над значением х, чтобы получить значение у. Нет оснований п р о т и в о п о с т а в л я т ь понятие однозначного анали­ тического выражения понятию функции как соответствия: первое является частным случаем второго Понятие функции как аналитического выражения сложилось в первой половине XVIII в. Именно так определяли функцию И. Бернулли (1718 г.) и Л.Эйлер (1748 г.).Последний предложил следующее определение: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, со­ ставленное каким-либо образом иэ этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Следует, однако, заметить, что у Эйлера 1) не вполне чётко отграничены «допустимые» операции, 2) не исключаются формулы, содержащие бесчисленное множество опе­ раций. Точное определение элементарной функции (в с о в р е м е н н о м с м ы с л е ) опирается на понятие функции как соответствия и формулируется так: Функция называется элементарной, если её значения могут быть получены из постоянных чисел и значений независимых переменных по­ средством конечного числа элементарных операций. Конкретные примеры неэлементарных функций приведены в главе IV. Там же указан и наиболее естественный способ их получения (см. § 49). К понятию функции как соответствия нам придётся обращаться в дан­ ной статье неоднократно. Покуда же просим читателя, если идёт речь о «функциях», иметь в виду те самые элементарные функции, с которым в приходится встречаться в процессе преподавания. В дальнейшем (в главах I—IV) число рассматриваемых перемен­ ных величин ограничивается д в у м я : ради единообразия они будут обозначены буквами х и у. Пусть дано уравнение вида Ffr,y) 0 Q = 0, (4) где F(x, у) — какая-нибудь элементарная функция величин х и у*). Предположим, что х и y — произвольные числа. Если эти числа *) Два понятия функции (более узкое и более широкое) можно сблизить между собой, или даже отождествить, одним из следующих способов: а) устанавливая, что весьма обширные классы функций-соответствий допускают аналитическое представление (см., например, теорему ВеЙерштрасса в § 49 гл. IV); б) рассматривая как математическую операцию переход от числового значения независимой переменной к соответствующему (в силу функциональ­ ного соотношения) значению зависимой переменной. ) Если в правой части уравнения стоит не нуль, всегда можно пере­ нести всё в левую часть. а