* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
О РЕШЕНИИ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
В РАДИКАЛАХ
299
между корнями а а , . . . , а над полем рациональных чисел. Это соотношение можно даже считать относительно <х„ . . . , а целым рациональным. Подставляя в левую часть равенства (7) вместо а и соответственно а-\-Ы и а — Ы и собирая отдельно действи тельные и мнимые члены, получаем: r(a а , . . . , a ) = P-\-lQ = Q (Р, Q—действительные числа), откуда P — Q — 0. Применим теперь к г (а,, а , . . . , а ) транспо зицию (12). В силу сопряженности корней а, и а это равносильно перемене знаков мнимых частей выражения г(а а , . . . , а ):
и 2 р п г v 2 p 2 р 2 и 2 р
г(а , a
2
v
... , a ) — P — iQ.
p
Но по доказанному выше P=Q
2
= 0. Следовательно,
р
г(а , а„ . . . , а ) = 0. Таким образом, транспозиция (12) не нарушила соотношения (7). Это означает, что транспозиция (12) содержится в группе G урав нения. Отсюда согласно вышеупомянутому свойству транзитивной группы вытекает, что группа G является симметрической: G = S . Значит, по теореме 39 уравнение F(x) = 0 неразрешимо в ра дикалах. Из этой теоремы сразу получается, что уравнения пятой степени вида
n
x*
— q-x — q =
0,
(8)
где q — простое число, неразрешимы в радикалах. В самом деле, неприводимость уравнения (8) сразу обнаружи вается с помощью критерия Эйзенштейна. Пользуясь теоремой Штурма*), можно установить, что уравнение (8) имеет всего три действительных корня. Таким образом, уравнение (8) удовлетво ряет всем условиям теоремы 41 и потому не может быть решено в радикалах. Изучение свойств алгебраических расширений с помощью аппа рата теории групп является основной задачей т е о р и и Г а л у а . Рассмотренный здесь вопрос о разрешимости алгебраических урав нений в радикалах есть одно из приложений этой теории. В рабо тах советских математиков (С. О. Шатуновский, Н. Г. Чеботарёв, Б. Н. Делоне и др.) теория Галуа получила дальнейшее обобщение и развитие ). Н. Г. Чеботарёв посвятил ей две свои монографии: «Основы теории Галуа», ч. 1 (ГТТИ, 1934) и ч. 2 (ОНТИ, 1937)
2
*) См. стр. 324, А. П. Д о м о р я д , Численные и графические методы ре шения уравнений. ) Более подробные сведения можно найти в сборнике «Математика в СССР за 30 лет» (Гостехиздат, 1948).
я
