* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

292 кольцо МНОГОЧЛЕНОВ и ГОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ В самом деле, пусть ш лежит в поле Р . Тогда, очевидно, ш не меняется при любой подстановке из группы G. Обратно, если ш не меняется при любой подстановке из группы G, то по только что доказанной теореме 32 все элементы, сопряжённые с ш, должны совпадать с ш. Но последнее возможно лишь тогда, когда а) есть корень многочлена р(х) первой степени: р(х)=х— а, где а — элемент Р . Таким образом, ш — а = 0 или ш = а. Мы видим, что ш оказался элементом поля Р . Существенную роль в нашем изложении будет играть следующая Т е о р е м а 33. Пусть Q — нормальное поле и G — группа уравнения (1) над Р . Тогда всякому промежуточному полю Р ( P C Р с : Q) соответствует подгруппа G' группы G, кото¬ рая в свою очередь является группой уравнения (1), но уже над Р, а именно G' является совокупностью таких подстано­ вок из G, которые оставляют неподвижным любой элемент Р. При этом поле Р определяется подгруппой G' однозначно: Р есть совокупность всех элементов Q, «допускающих» подста­ новки из G' т. е. остающихся неподвижными при этих под­ становках. Д о к а з а т е л ь с т в о . Группа G' уравнения (1), рассматриваемого над Р',есть,очевидно, совокупность таких подстановок корней a . . , , а уравнения, которые не нарушают ни одно рациональное соотноше­ ние между aj, , а над Р и оставляют элементы Р неподвиж­ ными. Отсюда подстановка s из G' и подавно не будет нарушать рациональное соотношение межд}' a ... , а над Р , так как эти соотношения можно рассматривать и как соотношения между о , , . . . , а над Р ' . Следовательно, s есть элемент группы G, откуда G' есть подгруппа G (возможно совпадающая с G). Покажем теперь, что G' состоит из в с е х т е х подстановок группы G, которые оставляют элементы Р неподвижными. Обозна­ чим совокупность таких подстановок через G". Ясно, что группа G' будет содержаться в G": G'c^G". Кроме того, легко видеть, что G" является также группой, так как произведение двух подстановок, оставляющих элементы поля Р ' неподвижными, также оставляет неподвижными элементы Р ' . Пусть теперь t — некоторая подстановка из G". Эта подстановка не нарушает ни одного рационального соотношения между а ... , а над Р , так как / содержится в группе G уравнения (1). Рассмотрим некоторое рациональное соотношение г (а,, о ) = 0 над Р . С одной стороны, это соотношение не нарушается подстановкой t так как, выражая коэффициенты соотношения через корни а,, . . . , а уравнения (1), мы получим соотношение между а,, . . . , а над Р . С другой стороны, коэффициенты соотношения r(a,, . . . , a ) — О подстановкой t не меняются. Следовательно, / содержится в G', откуда G"c=G'. Сопоставляя G"c=G' и G'czG", видим, что G" = G'. t ]f я п lt п п 19 п п t п н n