* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

244 КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ будет обращаться в нуль при любых значениях неизвестных тому на основании теоремы 21 будет равна нулю: х ) — g(x п n lt п u и по­ х) = 0 п 9 откуда /(лг,, x ) = g(x х ). В заключение этого параграфа отметим следующее: с помощью примерно тех же соображений, что и для случая многочлена от одного неизвестного, нетрудно убедиться, что если /(х%, то /(/:„ .... c ) + g(c n lt ... f х )-\-g(x п n l3 x ) = k(x tl l t lt х) l9 п п 9 /(лг,, . x ) g ( x ..., x ) = k (x n х ), c) й n f c ) = h(c n n lt J / /(с,, c )g(c n l9 c )=£(c„ п п с) при произвольных значениях лг, = с„ лг = с неизвестных. Пользуясь соотношениями (16) и теоремой 22, можно затем убедиться, что для бесконечного кольца R без делителей нуля алгебраическая и функциональная точки зрения на многочлен от нескольких неизвестных равносильны. Рассуждения по существу будут теми же, что и для многочлена от одного неизвестного. § 12. Поле алгебраических дробей Многочлены являются частным случаем понятия алгебраической дроби. В этом параграфе мы сначала дадим соответствующее опре­ деление алгебраической дроби, а затем выясним, при каких усло­ виях можно эти дроби рассматривать как функции. Пусть Р— произвольное поле. Множество многочленов Р[х х ] от неизвестных л , , . . . , х образует, как мы знаем из предыдущего параграфа, коммутативное кольцо без делителей нуля. Однако Р[х ..., х ] полем все же не является, так как далеко не всегда один многочлен делится на другой. Например, лг^-|-а, где афО — элемент из Р не делится на л ^ - j - c ; не делится по той простой причине, что степень делимого меньше степени делителя. Предположим теперь, что существует такое поле 2, в котором кольцо P [ j e . . . х ] является подкольцом. Тогда для каждой па­ ры многочленов f(x х ) и g(x х )фО из Р[х x] уравнение g(x x )z=f(x .... х) 19 п п и п ч l f e п l9 п l9 п и tl 19 n 19 п будет иметь в поле Q единственное решение z = a. Обозначим это решение через f(x g v . . х ) п (ЛГ,, . . х ) п