* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ ОТ НЕСКОЛЬКИХ НЕИЗВЕСТНЫХ 237 членом от х над R[x , . . . , х _ ], т. е. будет элементом кольца R[x .. х \. Элементы / кольца R[x , . , х ] называются многочленами от неизвестных х , х над R и обозначаются через /(лг,, . . . , х ), g(x . . . , х ) и т. п. Само выражение (4) обычно называется нор­ мальным видом многочлена, слагаемое AjX\i... х ^ — членом и А — коэффициентом многочлена. В частности, всякий элемент а из кольца R можно рассматри­ вать как многочлен от п неизвестных над R, причём в случае а ф О следует предполагать, что показатели неизвестных равны нулю. Пользуясь общими свойствами операций сложения, вычитания и умножения элементов кольца, нетрудно получить обычные правила обращения с многочленами от нескольких неизвестных. А именно, пусть п x п г u п t п х п п v п 1 г / 0 * 1 , • •• ,х ) п = A^xh x ... j £ i + + А х«ьф к g(x , x xJ = B x«ixi\ x ) + g(x , n x J#+.-. + ^ « # lf xi + 4 l —два каких-нибудь многочлена из R[x f(x , x .... х ]. п Тогда х ) = (А х? п х ... дг^1+ ... + At*J* х%*) + (В х\1 х ...л#+ +ад' x --хУ)n t Так как во всяком кольце и, в частности в кольце R[x , x\ сложение подчиняется сочетательному и переместительному зако­ нам и имеет место распределительный закон, то мы можем рас­ крыть скобки и произвести приведение подобных членов, в резуль­ тате чего получится нормальный вид суммы / ( л г „ . . . , л г ) - | + g{x х ). Что касается разности /(лг,, х ) — g(x . . . . х ) то она сводится к сумме f(x , . . . , -V„)H-[—g(x , лг„)], причём п u п п Xf п 9 x t g{x , x ...у х^) = В ) ?xf х x = (- ... t + . . . + ( - Вд *fi х$ п lP х£'\ Для получения произведения f(x , х ) g(x . . . , лг„) мож­ но воспользоваться правилом умножения суммы на сумму (ei + e» + - - - + e )(*i + *« + --- + *ff) = а Ъ + • • • + a b +... p х х x q = + ab, p q имеющим место во всяком кольце. Согласно этому каждый член AjX\lX$...XPi многочлена / ( л г „ лГд) умножить на каждый член Bjxfjx$...xp правилу надо