* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

232 КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ. В дополнение к сказанному отметим, что если а является алге­ браическим относительно Р, ct — алгебраическим относительно Р(а ) и т. д., наконец, a является алгебраическим относительно P ( o . . . , a ) , то P(a . . . , a ) будет исчерпываться числами вида х 2 г s l t s-1 lt s получающимися в результате комбинации первых трёх арифмети­ ческих действий. Это следует из того, что в случае а алгебраиче­ ского относительно поля Р, кольцо Р [ а ] является полем: P[a] = P(a). Проблема решения алгебраических уравнений в радикалах тесно связана с процессом расширения поля путём присоединения чисел, алгебраических относительно рассматриваемого поля. Этой связью мы воспользуемся при доказательстве теоремы Руффини-Абеля в § 16. Введём предварительно весьма важное понятие нормального поля. Пусть cij, а —все п корней уравнения п f(x) = ax 0 n + a x -*-\l n + a „= 0 (11) л-й степени. Присоединим к полю R рациональных чисел коэф­ фициенты а , С | , . . . , а„ уравнения. Мы получим расширение J?(a , a а ), которое мы будем называть областью рациональ­ ности уравнения (11) и будем обозначать для краткости через А. Присоединим, далее, к А корни а,, а , a . Полученное при этом расширение A (a . . . , а ) поля А называется нормальным полем или полем Галуа уравнения (11). Нормальное поле А ( а а„) мы будем часто обозначать через Q. Теперь покажем, что уравнение (11) тогда и только тогда раз­ решимо в радикалах, когда нормальное поле Q = A ( a a„) содержится в расширении £ = Д(р,, р , p ), полученном путём 0 0 lt п 2 rt lf п 1( lf 2 fe присоединения к А некоторых радикалов f\=']fA 9 д k9 х 2 lt р =]/^Л , 2 2 3 . . . р = у A где А принадлежит А, Л принадлежит A (pj), Л при­ надлежит А(р„ р ), А принадлежит A ( p p _ ). В самом деле, если уравнение (11) разрешимо в радикалах, то это значит, что корни уравнения выражаются через его коэффи­ циенты и некоторые радикалы p , р , , . . , p с помощью конечной комбинации четырёх арифметических действий. Так как поле £ = = A(pj, p ) содержит коэффициенты а , а а и радикалы Pi» р2> 9k > всякое числовое поле, замкнуто относи­ тельно арифметических действий, то корни a . . . , а должны лежать в £. Следовательно, Q, будучи минимальным среди всех числовых полей, содержащих А и a . . . , а , само должно содер­ жаться в Е, 2 к lf fe t t 2 k ft 0 и п и к а к и l9 п lf п