* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
кольцо
МНОГОЧЛЕНОВ
от
ОДНОГО
НЕИЗВЕСТНОГО
231
четырёх арифметических действий, поле Д должно содержать вместе с P(ccj) и а и всевозможные числа вида
2
о
0
( а , ) + fl, ( а , )
a
a +
s
а
. . . - f ak ... - fЪ
г
(а ) а *
х
M°i) + M
х
l
i ) з +
(ojoj
где а -(а|), tj(a ) — элементы из P(ofj) и знаменатель отличен от нуля. Иными словами, Д должно содержать P(a ct ) и т. д. Рас суждая так, мы, наконец, убедимся, что Д содержит P(
a ).
/jf
В самом деле, P ( a полей, содержащих Р и a зависит лишь от поля Р и сс , a но не от порядка Затем легко видеть, что совокупность чисел вида
Jf А sl
a ) есть пересечение всех числовых a^; вследствие этого P ( a . a ) от множества присоединяемых чисел присоединения к полю Р этих чисел. P(ct a ) есть не что иное, как
lf s |( s
(10)
B
i i
a
l
v
---V +*--+^
1 V
•••V
где A;, By — элементы из поля Р , a kfy и ftp— целые неотрицатель ные числа. В самом деле, благодаря замкнутости P(a a ) относи тельно четырёх арифметических действий поле P ( a a ) будет содержать вместе с Р и а , . a и всевозможные числа, полу чающиеся из чисел а „ . . . , a и чисел из Р с помощью той или иной комбинации четырёх арифметических действий. Короче говоря, P(ct . . . , a ) должно содержать всевозможные числа вида (10). Но совокупность чисел вида (10) образует числовое поле. Следо вательно, в силу минимальности, числами вида (10) должны исчер пываться все элементы поля P ( a aj.
l9 s lf s г s s l9 s it
