* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ от одного НЕИЗВЕСТНОГО 219 что при д^>0 уравнение (8) имеет два положительных корня, а при q<^0— только один положительный корень. В самом деле, если q^>0, то coscp<^0. Так как sin 9 ^> 0, то угол 9 должен лежать во второй четверти. Отсюда ~ ^ > - ^ и лежит в первой четверти, а ^ Ц ^ * — в четвертой, вследствие чего корни у 4 2 0 и _у положительны. Если q<^0, то аналогичным образом убеж­ даемся, что только _у будет положительным. Итак, в случае Д < ^ 0 уравнение (8) имеет три действитель­ ных различных корня, причём при q^>0 два корня положительны, а при q<^0 только один корень положителен. Корни у , y _у вычисляются по формулам (14) довольно легко, если пользоваться таблицами логарифмов значений тригонометри­ ческих функций. Формула (I) на стр. 211 обладает тем недостатком, что она в случае отрицательного Д выражает действительные корни уравне­ ния (8) с действительными коэффициентами в мнимом виде. Для Кардана и его современников случай отрицательного Д казался парадоксальным, так как в то время понятие комплексного числа ещё не имело конкретного истолкования и операции извлечения квадратного корня из отрицательных чисел и извлечения кубического корня из комплексных чисел считались невозможными. Для матема­ тиков того времени было удивительным то обстоятельство, что в случае Д < ^ 0 получались с помощью этих невозможных операций действительные числа* Были предприняты многочисленные попытки освободиться от мнимостей в формуле Кардана, но эти попытки кончались неудачей. С помощью рассуждений, выходящих за пре­ делы нашей статьи, можно показать, что корни уравнения (8) с действительными коэффициентами в случае Д < ^ 0 никаким спосо­ бом нельзя выразить через радикалы с действительными подкорен­ ными выражениями. В силу этого обстоятельства случай Д < ^ 0 и получил наименование неприводимого случая. Другой недостаток формулы (I) состоит в том, что она часто представляет рациональные корни в иррациональном виде. При­ ведём пример. П р и м е р 6. С помощью общего приёма нахождения рациональ­ ных корней многочленов с рациональными коэффициентами легко убедиться, что уравнение JC — х— 6 = 0 0 0 Jt 2 3 имеет рациональный корень дг = 2. Так как для данного уравнения 0 то 2 является единственным действительным корнем уравнения.