* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
208 Отсюда
КОЛЬЦО
МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
(7+3Q±(9-7Q 2(l+t) г — (7 + 3Q + ( 9 - 7 Q _ 8 - 2 - _
у Л — t
_
2(1+0 ~ Т - Н ' _ (7 + 3 Q - ( 9 - 7 Q _ - l + 5 f _ , , 2(1+0 ~ " ф ™ " Займемся исследованием квадратного уравнения с комплексными коэффициентами, т. е. выясним, при каких условиях уравнение имеет различные корни и при каких условиях оно имеет кратные корни. Нам придется воспользоваться так называемыми формулами Вьета. Мы их выведем для общего случая уравнения л-й степени, так как эти формулы понадобятся и для уравнений выше второй степени. Пусть X - f a xf^ -+-.. + а = 0
9 q
о г
+
я
x
x
п
— алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами a ...,а и со старшим коэффициентом, равным единице. Обозна чим е ю корни через x х%, ..., х . Тогда можно будет написать следующее разложение многочлена f(x) = х -\- а х^~ - | - . . . - ] - а на линейные множители:
Xt п lt п п х х п
хГ + а
^
-
*
+ а = (х — х )(х
п х
—
Хъ)~.(х—х ).
п
Отсюда, производя перемножение линейных множителей, получаем: л " + a * " - + . . . + <*„ =
J 1
=
JC"
— (Jf, +
+ ...+ Х)
п
X"
1
+
. . . +
(
— 1)« XiX,
...
х.
п
Но если два многочлена равны, то их коэффициенты при одинако вых степенях х должны совпадать. Следовательно,
в|= —(*1 +
а
2
*8 +
-\- х ^
х 3
— -f- [х х%
х
-г- . . . -у- -"ц-х^пз*
\
^
*
a =
n
(—l) x Xf.x .
x n
n
В правых частях соотношений (А) стоят всевозможные произ ведения корней по одному, по два, по три и т. д. Мы пришли к формулам Вьета. Вернемся к квадратному уравнению. Для большей простоты можно всегда предположить, что старший коэффициент уравнения равен единице; в противном случае мы разделили бы обе части уравнения на старший коэффициент. В этом предположении квад ратное уравнение будет выглядеть так: x* + px-]-q = 0. (6)
