* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

204 КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Двучленное уравнение (2) можно свести к ещё более простому уравнению 1=0. (4) Дело в том, что между корнями уравнений (2) и (4) имеет ме­ сто следующая зависимость: умножая один из корней п-й степени из а на всевозможные корни той же степени из единицы, мы получим все корни п-й степени из а. Д о к а з а т е л ь с т в о . Будем обозначать» как и выше, корни л-й степени из а через x а корни л-й степени из единицы — через а . Возьмём один из корней л-й степени из а, например x и покажем, прежде всего, что лг а есть также корень л-й степени из а. Для этой цели возведём x a в л-ю степень. Получим: kt /г 0f 0 д 0 k W Q k = *S A= a аЛ=а, b b k т. е. x a действительно оказалось корнем л-й степени из a: x a = x . Теперь пусть x — произвольный корень л-й степени из а. Рас­ k смотрим частное Легко видеть, что — есть корень л-й степени ИЗ единицы. В самом деле, \Хш/ _ Xg^e ft Таким образом, мы можем написать, что — = a , откуда X k — O k* X a () 5 Итак, все корни я-й степени из а получаются по формуле (5), т. е. путём умножения корня х л-й степени из а на всевозможные корни a n-Pi степени из единицы. Среди корней л-й степени из единицы весьма важную роль в теории двучленных уравнений играют так называемые первооб­ разные корни. Корень £ л-й степени из единицы называется первообразным, если е при возведении в степени 0, 1, 2, п даёт все корни п-й степени из единицы. Нетрудно убедиться, что для всякого целого положительного числа п существует по меньшей мере один первообразный корень п-й степени из единицы. Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, обра­ тимся к формуле извлечения корня л-й степени из комплексного числа. Согласно этой формуле получаем 0 k У1 = c o s ^*- + * s J n ^ 2 (A = 0, 1, 2, . . . 4 n—I),