* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ от ОДНОГО НЕИЗВЕСТНОГО 197 Назовём, далее, подпоследовательностью последовательности комплексных чисел \х \последовательность \х^ },где v,, v , . ...v^,, . . . к s есть некоторая монотонно возрастающая последовательность поло­ жительных целых чисел: v, <^ v <^ . . . <^ v <^ . . . Нетрудно убе­ диться, что если последовательность {x \ сходится к х , то и всякая её подпоследовательность \х \ сходится к х . 9 ft k ь п В самом деле, так как \x \ сходится к х , то для любого е ^ > 0 можно указать такое N^>0, что при k^>N будет иметь место неравенство \х —-*о|<Г Отсюда для всех v ~^>N будет также \х — ^ o l ^ C ' " * подпоследовательность {x \ сходится к тому же числу х . Отметим следующее важное свойство ограниченных последова­ тельностей: Всякая ограниченная последовательность комплексных чисел \х ] обладает сходящейся подпоследовательностью. Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы будем считать эту теорему известной для последовательностей действительных чисел. В соответствии с этим мы проведём доказательство так. Прежде всего легко усмотреть, что из ограниченности последо­ вательности {x = a -\-ib \ вытекает ограниченность последователь­ ностей действительных чисел \а \ и {Ь \. В самом деле, так как \ к 1=^1**1 l ^ f t l ^ l - ^ f t l * неравенства |Л" |<^Л1 следует, что и подавно \ а \<^М, \ Ь \<^М. Поскольку последовательность действительных чисел \а } огра­ ничена, она должна обладать сходящейся подпоследовательностью. Пусть это будет {a }- Тогда [x — a ~\-ib^ \ будет некоторой подпоследовательностью последовательности {х \. Рассмотрим по­ следовательность {b? } мнимых частей чисел Jc . Эта последователь­ ность есть подпоследовательность ограниченной последовательности \b ] и потому в свою очередь ограничена. Следовательно, {b \ должна обладать сходящейся подпоследовательностью. Пусть это будет Рассмотрим последовательность {x^. = a , -{-ib^ }. Она сходится, так как {Ь^ \ сходится, и {а^ \ сходится (как подпосле­ довательность сходящейся последовательности {a })« Мы видим от­ сюда, что {х } обладает сходящейся подпоследовательностью k 0 е к k 6 т е ч Vfi 0 к k k k к к а и т 0 и з Й к к к Vfe Vk Vfc k к k Vft k Vk k v fl k к к Vft к Вернёмся теперь к многочлену /(лг) и рассмотрим множество А всевозможных значений модуля многочлена | / ( # ) | . Так как модуль комплексного числа не может быть отрицательным, то [/(-£) [=^=0. Таким образом, это множество А оказывается ограниченным снизу. Известно, что всякое (не пустое) множество действительных чисел, ограниченное снизу, должно обладать нижней гранью. Следовательно, и для множества А должна существовать нижняя грань, т. е. должно существовать такре действительное число /, что \f{x)для.