* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ
от одного
НЕИЗВЕСТНОГО
167
причём / ( а ) Ф О, и
3 3
/(х)
= (х — а уч (х — а )*. (л: - а^/
г 2
г
(х)
и т. д. В конечном счёте мы придём к разложению / ( * ) = (* — « i ) ( * — aj*
fel
... (х —
а )*ж/ (х).
я 9
Степень левой части последнего равенства равна п, а степень пра вой части не меньше чем k -\-k -\- ... -\-k . Отсюда получается, что k А Ч~ -f- h ^ n, и теорема для многочлена степени п ^ 1 доказана. Но для многочлена нулевой степени теорема тривиальна: такой многочлен не имеет корней. Отметим одно важное следствие. С л е д с т в и е . Если коммутативное кольцо R с единицей ефО является областью целостности и два многочлена /(х), g(x) над R со степенью, не превосходящей п, имеют равные зна чения более чем при п различных значениях х, то эти много члены равны: f(x)=g(x).
x 2 s x 2 s
В самом деле, многочлен h(x)=f(x)—g(x), с одной стороны, имеет степень, не превосходящую п. С другой стороны, h (х) обра щается в нуль при более чем п различных значениях х, т. е. имеет более чем п корней. Отсюда по только что доказанной теореме получается, что h(x)=f(x) — g(v) = 0, т. е. f(x) = g(x). В случае бесконечной области целостности R из этого след ствия вытекает, что два многочлена f(x) и g(x), имеющие равные значения при любых значениях х, должны быть равны. Будем в произвольном многочлене f(x) из R[x] неизвестное х заменять тем или иным элементом с кольца R. Мы получим вполне определённый элемент f(c) из R. Таким образом, каждому много члену f(x) из R [х] будет ставиться в соответствие функция от одного аргумента, определённая на множестве R: /(*)-/(*). (4)
Через Е мы здесь обозначили аргумент, а через f(l) — функцию, соответствующую многочлену f(x). Мы собираемся показать, что в случае бесконечной области целостности R функциональная и алгебраическая точки зрения на многочлен являются равносильными. А именно, имеет место сле дующая Т е о р е м а 11. Если коммутативное кольцо R с единицей е ф 0 является бесконечной областью целостности, то множество функций /(Е), соответствующих многочленам /(х) из R [х], обра зует кольцо, изоморфное кольцу многочленов R [х\.
