* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

156 КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ РАЦИОН\льных ФУНКЦИЙ где а, Ь, с, d е—некоторые t рациональные числа. Полагая х = , получаем: r а я V" b Получился абсурд: у 2 оказался рациональным числом — - . Сле­ довательно, многочлен р(х) = х — 2 неприводим в поле рациональ­ ных чисел. Однако этот же многочлен в поле действительных чисел будет уже приводимым — так как в поле действительных чисел мы счи­ таем допустимым разложение и на множители с иррациональными коэффициентами, то мы можем написать, что р (х) = (х — V* ) (* + 1 ^ 2 * 8 + 1 ^ О Для многочленов из кольца Р[х] имеет место теорема, анало­ гичная теореме о разложении целого числа на простые множители. Т е о р е м а 8. Всякий многочлен из Р[х] выше нулевой сте­ пени разлагается в произведение неприводимых многочленов: f(x)=p х t (х)р 2 (х) ... р г (х) (Pi ( ) — неприводимый многочлен в поле Р), и это разложение является единственным с точностью до порядка следования и множителей нулевой степени. Для доказательства этой теоремы придётся предварительно рас­ смотреть следующие свойства неприводимых многочленов, сходные со свойствами простого числа. 1°. Если Pi(x) и р (х)— неприводимые многочлены в поле Р и Pi (х) делится на р (х), то р (х) и р (х) совпадают с точ­ ностью до множителя нулевой степени. В самом деле, из равенства р (х) = р (х) q (х), где q (х) — частное от деления p (x) на р (х) следует в силу неприводимости р {х)у что q (х) есть многочлен нулевой степени: q (х) = сфО. Отсюда Р\(х) = ср (х) что и требовалось показать. 2°. Многочлен f(x) из Р[х] тогда и только тогда не делится на многочлен р(к), неприводимый в поле Р, когда f(x) и р{х) взаимно просты. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть f(x) не делится на р(х). Обозна­ чим через D(x) наибольший общий делитель f(x) и р (х). Так как р(х) — неприводимый многочлен, то из условия делимости р(х) на D(x) следует лишь одно из двух: либо 1) D(x) есть многочлен нулевой степени, либо 2) D (х) совпадает с р (х) с точностью до 2 г х 2 г 2 t 2 у х г у