* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ от ОДНОГО НЕИЗВЕСТНОГО 155 Левая часть последнего равенства делится на h(x); следовательно, правая часть, т. е. g(x) делится на h(x). В теории делимости многочленов роль простого числа играют так называемые неприводимые многочлены. О п р е д е л е н и е . Многочлен f{x) из Р[х] называется приво­ димым в поле Р, если он может быть разложен в произведение двух многочленов меньшей степени из того же кольца Р [х]> Напротив, многочлен р(х) из Р(х) выше Кулевой степени на­ зывается неприводимым в поле Р, если р (х) не может быть раз­ ложен в произведение двух многочленов меньшей степени из того же кольца Р[х]. Согласно этому определению многочлен нулевой степени нельзя считать приводимым, а также нельзя считать неприводимым много­ членом. В этом отношении наблюдается та же картина, что и для числа 1. Число 1, как известно, не считается простым и в то же время не считается и составным числом. П р и м е р 3. Рассмотрим многочлен f(x) = x — 5л + 6 IL а над полем рациональных чисел. Он разлагается в произведение мно­ гочленов меньшей (а именно второй) степени над тем же полем рациональных чисел: f(x) = (x*-2){x* — 3). приводим в поле Следовательно, рассматриваемый многочлен f(x) рациональных чисел. П р и м е р 4. Многочлен первой степени р{х) = х+1 над произвольным полем Р неприводим в А Действительно, если f(x) и g (х) — произвольные многочлены выше нулевой степени, то их произведение будет иметь по меньшей мере вторую, а не первую степень. П р и м е р 5. Многочлен . р(х)=х ъ — 2 неприводим в поле рациональных чисел. В самом деле, если бы многочен р (х) был приводим в поле ра­ циональных чисел, то р (х) разлагался бы в произведение двух мно­ жителей, из которых один был бы первой степени, а другой — вто­ рой степени: р (х) = лг — 2 = 3 (ах -f- b) (CJC - f dx - f e) 2 t