* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
154
КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ
ФУНКЦИЙ
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как по условию /(-*)=/, то равенство f{x)
9
{х) D (х), (x)
g (х)=
gi
{х) D (х),
+ g (х) ty(x) = D (x)
можно переписать следующим образом: Л С*) 9 С*) D (х) +g Сокращая на D (x)
f t
(х) ф (JC) D (х) = D
(JC).
получаем:
Отсюда в силу предыдущего свойства 1° следует, что / , (х) и g (JC) взаимно просты. 3°. Если многочлены f(x) и g(x) из Р[х] взаимно просты с третьим многочленом /г (JC) из Р[х], то произведение f(x)g(x) также взаимно просто с h{x). Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как по условию / ( J C ) и h(x) взаимно просты, то f(x)9(x) + h
