* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ от одного НЕИЗВЕСТНОГО 143 многочленов над произвольным полем Р. Единицу поля Р мы будем обозначать через 1. Ещё в определении поля под делением подразумевалось нахож­ дение корня уравнения ах = Ь. Назовём в соответствии с этим многочлен f(x) из кольца Р[х] делящимся на многочлен g(x)^0 из того же кольца P[.v], если уравнение g(x)X=f(x) разрешимо в Р [х]. Иными словами, многочлен f(x) делится на многочлен g(x), если в том же кольце существует такой третий многочлен q(x), что f(x) = g(x)q(x). Не следует думать, однако, что в кольце многочленов Р[х] де­ ление всегда выполнимо. Возьмём хотя бы многочлены f(x)=x-\1 и g(x)=x* ~\-1. Легко видеть, что f(x) не делится на g(x). В самом деле, если бы f(x) делилось на g(x), то в Р[х] нашёлся бы многочлен q (х), для которого имело бы место равенство Но это равенство невозможно, так как степень произведения (х ~\- 1 ) q ( х ) выше степени х~\- I . Таким образом, подобно множеству целых чисел, есть область целостности, но не поле. Отметим, прежде всего, простейшие свойства делимости многочленов. 1°. Всякий многочлен f{x) Ф 0 из Р[х] делится на самого себя. Действительно, мы можем написать очевидное равенство 1 / ( * ) = / ( * ) • 1. а единицу 1 поля Р можно рассматривать как многочлен нулевой степени из Р [ - * ] . 2°. Если f(x) и g(x)—многочлены из Р[х], и f(x) делится на g(x), a g(x) делится на f{x), то многочлены f(x) и g(x) отличаются друг от друга лишь множителем нулевой степени: fi*) = cg{x) (сфО), 9 где с — некоторый элемент из поля Р. В самом деле, так как f(x) делится на g(x) a g(x) делится на f(x), то по определению делимости мы можем написать, что f(x)=g Подставляя лучаем: И qi (х), g (х) =f(x) q % (x). выражение g(x) f(x)=f(x)q l из второго равенства в первое, по­ (x)q^(x) t или, сокращая на х f{x) i=?iC*)ft(-*)" ) Законность такого сокращения основана на том, что Р[х] есть область целостности. В самом деле, если в некоторой области целостности имеет место равенство ас = Ьс (или ca = cb), причём сфО, то ас — £с — 0 или (а — £)с —0. Отсюда, учитывая, что сфО п что кольцо не содержит дели­ телей нуля, получаем: a — b = 0, а = Ь.