* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

98 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Подставляя это в выражение (3'), получим равенство Ь F(b lt 12 *13 *23 «И «12 «22 «32 «13 «23 «33 6) Э = *31 *32 • «21 «31 *зз выражающее доказываемую теорему. В заключение этого параграфа введём понятие об о б р а т н ы х м а т р и ц а х . Мы уже заметили выше, что квадратные матрицы вида 1 0 0 0' 0 10 о Е=\ 0 0 1 0 ^0 0 0 1 при умножении на них не изменяют умножаемую матрицу. Матрица Е называется единичной матрицей (конечно, для каждого порядка имеется своя единичная матрица). По аналогии со случаем чисел матрица В называется обратной по отношению к матрице А, если оба произведения АВ и ВА равны единичной матрице. Отнюдь не все матрицы имеют обратные: из доказанной только что теоремы следует сразу, что матрица А, определитель которой равен нулю (вырожденная матрица), не может иметь обратной; в самом деле, если матрица имеет обратную матрицу В, то произ­ ведение определителей обеих матриц должно равняться определи­ телю единичной матрицы, т. е. числу 1, а такое равенство невоз­ можно, если хотя бы один из определителей матриц А и В равен нулю. Однако любая матрица /«11 «12 • «22 * а 1п А = «21 • «2п V . а пп* определитель которой отличен от нуля, имеет обратную матрицу* Для того чтобы убедиться в этом, достаточно написать явное вы­ ражение для обратной матрицы. Именно, каждый элемент а дан­ ной матрицы имеет в её определителе своё алгебраическое допол­ нение A . Так как определитель матрицы А отличен от нуля, все эти алгебраические дополнения можно разделить на значение d определителя всей матрицы. Расставим эти частные таким образом: ш ik А и d А,, d А\ d~ п # * (4) А* d An d Ann d