* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
96
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
И ЛИНЕЙНЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Первое из этих правил очевидно. Что касается второго, то оно легко получается из определения умножения. Мы ограничимся про веркой его справедливости в двух частных случаях:
a) (a
| f
# )) ( ? ] = «
22
Ц
2
/*!
(«i*i +
«a*2);
(*i»
* 2 ) М
=
( « А
+
«2*2);
*11 Ь) (#1, * )
2
= *2l *22. * 2 21\ / # l \ _ / l
(#l*li + «1*11 + \
#2*21» « 1 * 1 2 + «2*21 \
«2*22^
/*11 \*12
'
* '22/ 22/
\# 2/ ^«
«1*12 +
«2*22 / "
Доказательство в общем случае может быть проведено подобно тому, как это было сделано выше для сочетательного закона. Умножение квадратных матриц одного и того же порядка (т. е. с одним и тем же числом строк и столбцов) замечательным образом связано с определителями этих матриц. Имеет место такая Т е о р е м а . Определитель произведения двух квадратных ма триц равен произведению определителей сомножителей. Мы проведём . доказательство для случая матриц третьего по рядка, но читатель может заметить, что дословно то же рассужде ние можно провести и в случае любого порядка матриц-сомножи телей. Пусть даны матрицы
(
«11 «21 «31
«12 «22 «32
«1з\
«23 ) #3з/
И
В
=
Их произведение будет:
/«11*11 + АВ=[ «12*21 + «13*31» #11*12 + «12*22 + «22*22 + «32*22 + «13*32» «23*32» «33*32» «13*3з\ «23*33 ] • «33*33/ ( )
2
# 2 1 * ц + « 2 2 * 2 1 + «23*31» « 2 1 * 1 2 + \«31*11 + «32*21 + «33*31» « 3 1 * 1 2 +
«11*13 + «21*13 + «31*13 +
«12*23 + «22*23 + «32*23 +
Определитель этой последней матрицы мы будем рассматривать как функцию столбцов матрицы В. Обозначив указанные столбцы (которые мы будем рассматривать как трёхмерные числовые век торы) через Ь Ь > Ь , можем записать определитель матрицы (2) как F{b b 6 ). (3)
и г ъ v 2l 3
Обратим теперь внимание на свойства функции (3). Прежде всего очевидно, что если умножить один из столбцов матрицы В на
