* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

86 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ с другой стороны (рис. 7), квадрат длины диагонали параллело­ грамма равен |*+yf = \x\*+ 3>] + 2| x -\y cosa 2 ] ] = Сравнивая оба полученных выражения, видим, что (x у) = х у -\ -х у +х у . f х х г 2 2 3 ъ (4) Таково выражение скалярного произведения в из­ бранной нами системе координат. Выражение (4) позволяет непосредственно усмо­ треть ряд свойств скалярного произведения, часть из которых, впрочем, легко усматривается также и из самого его определения. 1. Скалярное произведение не зависит от по* Рис. 7. рядка сомножителей. 2. Числовой множитель можно выносить из-под знака скалярного произведения: (ka, b) = k(a b), каковы бы ни были векторы а и b и число А. 3. Для скалярного произведения имеет место распределитель­ ный закон: f (а, Ь + с) = (а 9 + с). (5) Доказательство всех этих свойств можно провести прямой про­ веркой, пользуясь полученным выражением скалярного произведе­ ния. Например, в случае третьего свойства эта проверка происхо­ дит так: пусть а = е а ~\- е. а ~\- е а b = e b -]- еф% - j - е Ь с=е с е с - j - е с . Тогда х х г г ъ ъ% i l ъ 1 1 2 2 э 3 г% Ь-\-с=е х (Ь + с ) - f е {Ь + с ) ~\- е. (А, + с ), х х 2 г 2 А 3 а значит, в силу формулы (4) (a, b - f с) = а (/;, + с ) + а (£ - f с ) + а (*, + с ). х х 2 2 2 3 3 С другой стороны, по той же формуле (4) (а, *) = а * 1 + а * + а * ; 1 2 9 3 8 (а, c) = a i C , - | - а с - | - а с а 3 8 > откуда (а, + ( а , c) = a ( * i + c ) 4 - a ( f t + c ) + a ( * + r ) . I 1 s i 2 a 3 e Совпадение полученных выражений доказывает равенство (5). Про­ верка остальных свойств проходит еще' проще, я мы оставяяем ее читателю. Распределительный закон применим также и в случае сумм, состоящих из многих слагаемых, причём доказательство этого не требует нового обращения к формуле (4), а может быть проведено