* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 81 неизвестным и конечному числу подстановок различных значе­ ний неизвестного лг. Следует, впрочем, отметить, что равенство (5) является лишь н е о б х о д и м ы м условием для того, чтобы значение х=х вхо­ дило в решение системы (1): хотя при любом значонни х, удовле­ творяющем уравнению (6), система однородных уравнений (4) и будет иметь решение, нельзя ручаться, что при этом значения не­ известных будут соответствующими степенями одного и того же числа. Более детальное исследование показывает, однако, что «лиш­ ними» могут оказаться только те значения х, при которых оба коэффициента а (х) и Ь (х) в уравнениях (2) обращаются в нуль одновременно. Определитель, стоящий в левой части уравнения (6), называется результантом данной системы уравнений. 0 0 0 § 18. Дополнительные замечания 1. Эквивалентность систем линейных уравнений. Две системы уравнений (в частности, линейных) называются эквивалентными, если каждое решение одной из них является также решением дру­ гой, и наоборот. В случае систем линейных уравнений имеет место весьма про­ стое соотношение между уравнениями эквивалентных систем: Если две системы линейных уравнений эквивалентны, то каж­ дое из уравнений любой из этих систем получается из уравнений другой системы умножением обеих частей каждого из них на некоторое число и последующим сложением. Для краткости в таких случаях говорят, что уравнение является линейной комбинацией уравнений системы. Доказательство этого можно легко получить из основной тео­ ремы о совместности систем. В самом деле, если две системы эквивалентны, то соединением и\ получим снова систему, эквива­ лентную обеим данным. У новой системы будет то же самое общее решение, а следовательно, и то же самое число свободных неизвестных. Но это означает, что при таком соединении систем ранг расширенной матрицы не изменяется. Другими словами, все уравнения наших систем будут линейными комбинациями уравнений некоторой максимальной линейно независимой системы. Так как эту последнюю всегда можно выбрать из уравнений одной из данных систем (опять-таки в силу равенства рангов), то наше утвер­ ждение доказано. 2. О вычислении ранга матрицы. Способ вычисления ранга мат­ рицы, основанный на самом определении ранга, весьма утомителен: приходится вычислять очень большое число миноров. Трудность уменьшается, если в рассматриваемой матрице значительное число элементов обращается в нуль, так как при этом равенство многих 6 Э и ц и к л о и е д и я , 1ш. 2,