* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 71 Если указанное условие выполнено, то следующий приём даёт возможность найти все решения системы (1). Пусть ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы равны г. Так как, в силу замечания в конце предыдущего параграфа, число г есть также максимальное число линейно независимых строк расширенной ма­ трицы, то все её строки будут линейными комбинациями некото­ рых г строк. Но это означает, другими словами, что все уравне­ ния системы (1) являются следствиями н е к о т о р ы х г уравнений системы (1) (все уравнения могут быть получены из уравнений, соответствующих линейно независимым строкам, умножением обеих частей каждого из последних уравнений на подходящие числовые множители и сложением соответствующих частей). Таким образом, в рассматриваемом случае достаточно получить решение этих г уравнений, ибо любое их решение будет также решением остальных. Так как нумерация уравнений произвольна, можно предположить, что упомянутыми уравнениями являются первые уравнения системы л (2) Из существования решения всей данной системы вытекает, что ре­ шения такой «укороченной» системы подавно существуют. Поэтому ранг матрицы коэффициентов при неизвестных в новой системе будет также равен г. Последнее в свою очередь означает, что из столбцов этих коэффициентов можно выбрать г столбцов так, что­ бы составленный из них определитель был отличен от нуля. Но нумерация столбцов зависит от нумерации неизвестных, которой мы можем распоряжаться по своему усмотрению. Следовательно, мы можем опять предположить, что такими столбцами являются п е р ­ в ы е г столбцов. Если число неизвестных равно г, то взятые столб­ цы исчерпывают все столбцы матрицы системы. В таком случае система (2) будет системой г уравнений с г неизвестными, опреде­ литель которой отличен от нуля. Но из § 7 мы знаем, что такого рода система всегда имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера.Из проведённых рассуждений вытекает, что это ре­ шение и будет решением (также единственным) системы уравнений (1). Если же г меньше числа неизвестных, то мы перенесём члены с неизвестными х в правую часть уравнений систе­ мы (2). Получим систему т а \ \ \ ~~Г~ •« • ~Ь \г г х а х — ^1 а и г+1 гл 1 — • • • (3) х а г\ \ х ~\~ • • • 4~ гг г — &г а х а п г+1 r+t — • • * x a rm m' x .