* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

70 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВ \ И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОВР \ 3 0 В \ Н И Я поля; но легко видеть, что в совокупности всех строк, содержащих по т чисел данного поля К, можно ввести такие же операции сложения и умножения на число, как и в случае столбцов. Тем самым множество строчек делается векторным пространством, и мы получаем право говорить о линейной независимости строк. В част­ ности, можно говорить о линейной независимости строк некоторой матрицы. То обстоятельство, что миноры матрицы не изменяются от замены их строчек столбцами, позволяет на основании только что доказанной теоремы утверждать следующее: Максимальное число линейно независимых столбцов, которое можно выбрать из данной матрицы, равно максимальному числу её линейно независимых строк. § 15. Решение произвольных систем линейных уравнений Теоремы, доказанные в двух последних параграфах, позволяют не только придать окончательную форму результатам, полученным в § 12, но и получить приём, позволяющий фактически получать все решения любой системы линейных уравнений. В самом деле, пусть дана система п уравнений с т неизвест­ ными (и Столбцы коэффициентов при неизвестных и столбец свободных членов этих уравнений являются, как мы знаем, столбцами коорди­ нат числовых векторов, обозначенных в § 12 через а , . . . , а и b (координаты относятся к базису из «единичных» векторов е е числового пространства). Пользуясь тем, что необходимым и достаточным условием существования решения системы (1) является равенство рангов систем векторов а а , а и а ..., а, b (см. § 12), и связью между рангом системы векторов и рангом ма­ трицы, можно иначе ф о р м у л и р о в а т ь полученный в § 12 ре­ зультат. Будем называть матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных, просто матрицей системы, а матрицу, получае­ мую из неё приписыванием к ней столбца свободных членов,— расширенной матрицей системы. Тогда необходимое и достаточное условие существования решения системы (1) примет такую форму: Т е о р е м а ) . Для того чтобы система (1) имела хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы. 5 т и п и 2 т р т 1 ) Эта теорема паэывается иногда теоремой Кропекера-Капелли.