* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА G9 быть как больше, так и меньше числа строк. Из матрицы (3) можно, вычёркивая некоторое число строк и некоторое число столбцов, раз­ личными способами образовать к в а д р а т н ы е матрицы. Определи­ тели получаемых таким образом матриц называются минорами ма­ трицы (3). Некоторые из этих миноров могут быть отличны от нуля, другие, наоборот, равны нулю. Рангом матрицы (3) мы будем называть наибольший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Ранг любой матрицы можно вычислить: для этого достаточно, например, вычислить все миноры матрицы и посмотреть, миноры какого порядка отличны от нуля. Вычисление может быть ещё упрощено, так как обращение всех минороз какого-либо порядка в нуль влечёт за собою обращение в нуль и всех миноров более высокого порядка (эти миноры, как и любые определители, могут быть выражены через миноры более низкого порядка!). Это делает ненужным вычисление всех миноров: достаточно обнаружить, что все миноры какого-либо порядка равны нулю, а миноры порядка на единицу меньшего не все равны нулю. Дальнейшие упрощения вычисления ранга будут указаны ниже. Вычисление ранга произвольной системы векторов может быть теперь проведено, основываясь на следующей теореме: Т е о р е м а . Если е\ , ё есть система любого числа век­ торов пространства L , то её ранг равен рангу матрицы пере­ хода, связывающей эту систему с любым базисом нашего про­ странства. В самом деле, если ранг матрицы перехода равен г, то суще­ ствует минор этой матрицы, отличный от нуля и имеющий поря­ док г. Пусть в этот минор входят элементы некоторых столбцов матрицы перехода. Взятые столбцы сами образуют матрицу пере­ хода от базиса е„ , е к системе векторов e) , e) , но­ мера которых соответствуют номерам рассматриваемых столбцов. А так как из этих столбцов можно образовать отличный от нуля минор г-го порядка, то по доказанному выше векторы e) . . . , е) линейно независимы. Наоборот, если мы возьмём любую часть системы векторов ёи > ё , содержащую большее число элементов, чем г, то при­ менение к этой части только что доказанного критерия линейной независимости даёт отрицательный результат, так что эта часть системы будет линейно зависимой. Таким образом, максимальное число линейно независимых век­ торов, которое может быть выбрано из системы е\, , ё т о ч н о равно р а н г у матрицы перехода. Доказанная теорема позволяет получить одно любопытное след­ ствие: до сих пор, говоря о числовых векторах, мы понимали под этими словами столбцы, составленные из чисел рассматриваемого у т п v r v г т т9