* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

68 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВ\ И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Согласно результату предыдущего параграфа векторы расши­ ренной системы будут образовывать баше пространства в том и только Б том случае, если определитель новой матрицы перехода отличен от нуля. Но если учесть то, что было сказано о строении матрицы пере­ хода, мы сразу замечаем возможность разложить определитель этой матрицы по элементам последнего столбца (так как в последнем столбце имеется только одна единица, а остальные элементы равны нулю). Эту операцию можно продолжить и дальше, пока не дойдём до столбцов первоначальной матрицы (2). В результате мы полу­ чаем, что интересующий нас определитель совпадает, с точностью до знака, с определителем, полученным из матрицы (2) вычёрки­ ванием тех строк, в которых стояли единицы приписываемых к этой матрице дополнительных столбцов. Ко это в связи с доказанной только что теоремой сразу даёт такой результат: Т е о р е м а . Векторы (1) линейно независимы тогда и только тогда, когда из матрицы (2) можно так вычеркнуть п — т строк, чтобы определитель оставшейся квадратной матрицы был отличен от нуля. Действительно, если можно таким образом вычеркнуть строки, то, добавляя к векторам e , , е векторы e номера которых совпадают с номерами вычеркнутых строк, мы согласно доказанному получим систему векторов, для которой определитель соответствую­ щей матрицы перехода отличен от нуля. Эга система будет в силу результата предыдущего параграфа базисом пространства, а следо­ вательно, исходная система линейно независима. Наоборот, если при вычёркивании любых п — т строк ма­ трицы (2) получаются квадратные матрицы, определители которых равны нулю, то, как бы мы ни добавляли к заданной системе векторы базиса e , e ни одна из получаемых систем п век­ торов не будет базисом пространства. Это возможно только в слу­ чае, когда векторы системы е , е лине.Чно зависимы. Нам остаётся только освободиться от сделанных ограничений, связанных с числом векторов системы е , е . Результат, от­ носящийся к любому числу этих векторов, получается из преды­ дущего без всякого труда. Однако для его формулировки полезно ввести один вспомогательный термин. Пусть дана произвольная матрица t т it lt mi и п 19 т (3) Она может не быть квадратной, причём число её столбцов может