* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

66 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Подставляя сюда выражения (2) для векторов нового базиса старый, получим равенство х = (е с !-]-... х х х хх через -|- е с ) л пХ п 2 х \ -|—... -|— (е с х 1л Хп + -.. + е с ) п пп п пХ х п = rt = е (с х[ - f с х - { - . . . + с л:„) - f - . . . - [ - е (с х[ - f . . . -|- c ^r„). х п Сравнивая это выражение с первоначальным выражением (1) век­ тора х через векторы базиса е , , е и учитывая, что коор­ динаты вектора определены (при заданном базисе) однозначно, по­ лучим систему равенств Х х ~ С Х\ ХХ -\- С 2 Х2 22 Х -[- СХ {л X т Х± ^= С^\Х\ - ] — C J C 2 • • • ~\~ ^2n nt Х п = C n l \ Н" пЧ 2 Х С Х Н" * ' • "Ь х С кА' , п .выражающих «старые» координаты х , , лг вектора д: через его «новые» координаты х\, , х' . Равенства (8) при заданных «старых» координатах х , , х можно рассматривать как систему п уравнений с п неизвестными. Определитель этой системы есть определитель матрицы (3) и по­ этому отличен от нуля, так что система (8) допускает единственное решение (в силу доказанной в главе I основной теоремы о систе­ мах линейных уравнений). Таким образом, знание координат век­ тора относительно любого из рассматриваемых базисов доста­ точно для определения их относительно другого базиса, если известна матрица перехода, связывающая базисы. п х п § 14» Ранг произвольной системы векторов Полученный в предыдущем параграфе результат даёт возмож­ ность узнавать, равен ли ранг системы векторов размерности рас­ сматриваемого пространства. Этот результат может быть теперь обобщён так, что в нашем распоряжении окажется способ, позво­ ляющий вычислить ранг произвольной системы векторов. Рассмотрение любых систем векторов сводится к рассмотрению базиса пространства с помощью простой теоремы, непосредственно получающейся из доказанной выше теоремы о замене. Т е о р е м а . Если е , , е есть базис n-мерного простран­ ства L, а е\, е'ъ , ё — произвольная линейно независимая си­ стема векторов того же пространства, то эта система может быть дополнена некоторыми из векторов e , е до базиса пространства L . Действительно, векторы е[, , ё являются линейными комби­ нациями векторов базиса е , е . Поэтому в силу того, что векторы е\, , ё линейно независимы, и в силу теоремы о за­ мене часть векторов базиса е , е (если т — п, то ьсе х п т lt п т ХУ п т х п