* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

60 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ\НИЯ Здесь мы не предполагаем, что число уравнений системы рапно числу неизвестных: оно может быть как больше, так и меньше этого числа. Требуется найти способ узнать, имеет ли данная система ре­ шения и (если она их имеет) каково число решений. Наконец, желательно также указать способ нахождения всех решений системы. Все эти вопросы, как мы увидим, легко сводятся к некоторым вопросам о векторах, тесно примыкающим к только что рассмо­ тренным. Действительно, будем рассматривать каждый столбец коэф­ фициентов при одном и том же неизвестном, а также и столбец свободных членов как «-мерные числовые векторы. Обозначим эти векторы, соответственно, через а , а и д. Тогда система (1) может быть записана в виде одного уравнения и т ax t t - f ад + - - - + а х т т = Ь. (2) Любое решение системы (1), т. е. любая совокупность значений неизвестных, удовлетворяющая системе (1), будет также удовле­ творять, уравнению (2), и наоборот. Это следует просто из того, что уравнение (2) является лишь иной записью системы (1). Это может быть сформулировано другими словами так: Система уравнений (1) имеет решение тогда и толь/со тогда, когда вектор b является линейной комбинацией векторов а и Как мы увидим дальше, особенно важной для нас будет сле­ дующая формулировка того же по существу результата: Система уравнений (1) тогда и только тогда имеет решение, когда ранги систем векторов а , а , , а и a с, , a b равны. Действительно, ранг системы векторов есть число векторов максимальной линейно независимой части этой системы. Если ранги систем с fl » »т и 2> » т> b равны, то максималь¬ ная линейно независимая часть системы a а, , а будет также максимальной линейно независимой частью системы а - , fl Отсюда сразу видно, что каждый из векторов любой из рассматриг 2 т lf 2 mt а и а а а р 2 lt 2 т и St m 2 т и 2 m