* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

BFKTOPHhIE ПРОСТРАНСТВА 59 иного пространства, как это сделано выше в случае пространства /z-мерных числовых векторов. Например, размерность п р о с т р а н с т в а F многочленов степени ^ п равна « - [ - 1, так как «векторы» этого пространства 1, х, ... , х линейно независимы и любой вектор (т. е. любой многочлен ука­ занной степени) представляется их линейной комбинацией. Между размерностями пространства и его подпространства имеет место такое соотношение: Размерность любого подпространства не превосходит размер­ ности пространства. Если размерность пространства конечна, то размерность любого собственного подпространства строго мень­ ше размерности пространства. В самом деле, первое утверждение очевидно, так как всякая линейно независимая система векторов п о д п р о с т р а н с т в а будет также линейно независимой системой векторов в с е г о п р о с т р а н ­ с т в а . Для доказательства второго утверждения предположим про­ тивное. Возьмём некоторую м а к с и м а л ь н у ю линейно независимую систему векторов п о д п р о с т р а н с т в а . Число входящих в неё век­ торов равно в точности размерности подпространства, а следова­ тельно, и размерности пространства, так как эти размерности пред­ положены р а в н ы м и . По этой причине она будет т а к ж е макси­ мальной линейно независимой системой векторов в с е г о п р о ­ с т р а н с т в а . Но в таком случае эта система, по доказанной в предыдущем параграфе теореме должна быть эквивалентна всему пространству. Это, в частности, означает, что л ю б о й вектор п р о ­ с т р а н с т в а является линейной комбинацией векторов нашей систе­ мы, которые все принадлежат подпространству. Принимая теперь во внимание, что любая линейная комбинация векторов подпространства принадлежит к этому же подпространству, получаем, что любой век­ тор пространства принадлежит рассматриваемому подпространству, так что подпространство н е б у д е т с о б с т в е н н ы м . n п § 12. Применение к системам уравнений Мы сделаем сейчас небольшое отступление от изложения общей теории, чтобы дать понять, каким образом развиваемые здесь сообра­ жения могут оказаться полезными для и с с л е д о в а н и я с и с т е м уравнений. Пусть дана некоторая система линейных уравнений ах и г + a x* + -.. + lt х а хт Хт { т 1 о-^\Х -[— а^х^ -J- . . . -|— а% х т пт-*т