* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

58 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВ \ и ЛИНЕГШЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ содержится в каждом из первоначально заданных подпространств. Ясно, что если подпространство L пространства L содержится в дру­ гом подпространстве L того же пространства, то L может рас­ сматриваться так же, как п о д п р о с т р а н с т в о £ *. Отметим также, что л ю б о е п р о с т р а н с т в о может рассматриваться как подпро­ странство в себе самом: это вполне согласуется с принятым нами определением. Если нам нужно подчеркнуть, что рассматриваемое подпространство не совпадает со в с е м пространст­ в о м , то мы будем называть его собственным подпростран­ ством. Легко видеть, что если задано произвольное множество М век­ торов пространства L, т о с о в о к у п н о с т ь в с е х и х л и н е й ­ н ы х к о м б и н а ц и й образует уже подпространство в L : ведь сумма двух линейных комбинаций векторов множества М и произ­ ведение любой из этих линейных комбинаций на любое число рас­ сматриваемого поля К будут снова линейными комбинациями век­ торов множества /И. Это подпространство называется подпростран­ ством, порождаемым данным множеством векторов. Наибольший интерес для нас будут представлять случаи, когда рассматриваемое множество векторов конечно. В случае векторного пространства элементарной геометрии под­ пространство, п о р о ж д а е м о е о д н и м вектором, является сово­ купностью векторов, лежащих на определяемой этим вектором пря­ мой линии. То же самое подпространство порождают и два вектора этой прямой, если хотя бы один из них отличен от нуля. Однако если мы возьмём два вектора, н е л е ж а щ и х на о д н о й п р я м о й , то порождаемое ими подпространство будет уже плоскостью. Нако­ нец, если мы возьмём три вектора, не лежащих на одной плоскости, то порождаемое ими подпространство будет попросту совпадать со всем пространством. Можно указать ряд подпространств в тех пространствах, кото­ рые были определены в примерах 1—4 § 8. Например, в простран­ стве F c o , уже рассматривавшемся в предыдущем параграфе, в качестве подпространства содержится совокупность многочленов, не содер­ жащих нечётных степеней х. Легко видеть, что размерность этого подпространства так же бесконечна, как и размерность самого про­ странства: ведь 1, х > , х* > . . . линейно независимы (см. § 10). Однако в том же пространстве имеются и подпространства конечной размерности. Так, пространство F многочаенов, степень которых не превышает л, содержится в F^ в качестве подпространства. То, что размерность этого подпространства конечна, ясно из того, что все многочлены степени п или меньше представляются линейными комбинациями «одночленов» 1, х JC , x также являющихся «векторами» нашего пространства. Доказанные в предыдущем параграфе теоремы дают возможность во многих случаях просто определить, какова размерность того или x 2 t 2 г п n 2 n л t