* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 57 также выполнены, так как они выполняются во псём пространстве. Таким образом, всё, что мы выше говорили о векторных простран­ ствах, автоматически относится и к их подпространствам. Однако при рассмотрении подпространств обнаруживается целый ряд новых явлений, связанных с их, так сказать, «взаимным распо­ ложением». Пусть L и L — два подпространства одного и того же вектор­ ного пространства L . Пересечением этих подпространств естественно назвать совокупность векторов пространства, принадлежащих одновременно обоим подпространствам. Это наименование нахо­ дится в согласии как с наглядными геометрическими представле­ ниями, так и с общим определением теории множеств, в которой, как известно, пересечением л ю б ы х м н о ж е с т в называют сово­ купность их общих элементов. Если мы рассмотрим совокупности векторов обычного трёхмерного пространства, лежащих на двух плоскостях, как подпространства, то пересечением их в нашем смысле будет совокупность векторов, лежащих на прямой, по которой пере­ секаются эти плоскости. Эта совокупность оказывается сама под­ пространством. Если аналогичным образом рассмотреть совокупности векторов, лежащих на пересекающихся прямой и плоскости, то пересечение этих подпространств будет состоять т о л ь к о из одного нулевого вектора: только нулевой вектор можно рассматривать как лежащий одновременно на нашей плоскости и на прямой. Однако нулевой вектор сам по себе образует подпространство: ведь сло­ жение нулевого вектора с самим собой и умножение его на любое число дают снова нулевой вектор. Эти совершенно наглядные соображения приводят к предположению о справедливости следую­ щей общей теоремы. x 2 Т е о р е м а . Пересечение двух подпространств любого простран­ ства само является подпространством. Действительно, пусть L и L — данные подпространства про­ странства L . Если векторы а и b содержатся в пересечении этих подпространств, то они будут содержаться также и в каждом из них в отдельности, например в L . Но так как L есть подпро­ странство, то сумма этих векторов а -[- b и произведение ka одного из них на любое число также принадлежит подпространству. Из тех же соображений следует, что эти сумма и произведение принадле­ жат также и другому подпространству L , а значит, и пересечению этих подпространств. Наше утверждение доказано. Конечно, можно говорить также и о п е р е с е ч е н и и л ю б о г о ч и с л а п о д п р о с т р а н с т в . Оно будет также подпространством рассматриваемого пространства. Подпространства могут с о д е р ж а т ь с я одно в другом: это выражение будет означать просто, что каждый вектор, принад­ лежащий первому из них, является также а вектором второго. Например, пересечение двух или большего числа подпространств x 2 x x 2