* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

52 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВМ1ИЯ является линейной комбинацией векторов некоторой другой си¬ стемы М. Тогда число векторов в системе М не может быть меньше п, причём можно произвести замену п векторов систе­ мы М векторами а а , ... , а так, чтобы полученная после этой замены система М была эквивалентна первоначальной системе М. Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку в формулировку теоремы вхо­ дит натуральное число п — число элементов рассматриваемой конеч­ ной системы, естественно для доказательства воспользоваться индукцией. Начнём со случая / 7 = 1 , когда первая система состоит лишь из одного вектора. Из того, что имеет место линейная независимость, следует, что вектор а Ф 0. С другой стороны, также по условию теоремы, можно выразить вектор а линейной комбинацией неко­ торых векторов т щ, , m системы М: fl =A m -|-A m + -|-... -|- k m . Отсюда уже следует, что в системе М должен быть хотя бы один вектор, т. е. что первое утверждение теоремы в данном случае справедливо. Кроме того, так как а ф 0, хотя бы один из коэффициентов k , k , k например k , должен быть отличным от нуля (в противном случае линейная комбинация равня­ лась бы нулю, а не вектору а ). Если k ф 0, то записанное выше и 2 п х х и s 1 ] 1 !i 2 s s х x it £l x х x равенство можно переписать так: m = ^ a i r i — т ^ ^ а — — m s - Но теперь видно непосредственно, что система /И', полученная за­ меной в системе М вектора т вектором a будет эквивалентна системе М. В самом деле, если мы возьмём любой вектор системы Ж, то могут представиться два и только два случая: а) Выбранный вектор х отличен от т \ но тогда он принадле­ жит также и системе /И', так как мы его не выбрасывали при за­ мене. Равенство х=\х показывает, таким образом, что вектор х является линейной комбинацией векторов системы М. б) Выбранный вектор x = m Но в этом случае имеющееся х v х v в нашем распоряжении равенство т = х ) а — х —... —~ m s также показывает, что он является линейной комбинацией векторов системы М'. Наоборот, если взять любой вектор х системы М', то опять возможны два случая: а) хфа и б) х=а . В этих случаях выра­ жение вектора х в виде линейной комбинации векторов системы М даётся, соответственно, равенствами х = х и х = а = k m -f-|--..-}-k^n . Доказательство эквивалентности систем М и М за­ кончено. Переходя к случаю произвольного 1, предположим, что наша теорема уже доказана в случае, когда данная линейно независимая х х х x x s