* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 51 линейной комбинации, равной нулю и имеющей отличный от нуля (хотя бы) один из коэффициентов. Из определения сразу следует, что если система векторов со­ держит нулевой вектор, то она обязательно линейно зависима'. в этом случае выражение kO представляет собою линейную комби­ нацию векторов системы, содержащую лишь одно слагаемое. Эта линейная комбинация будет равна нулю при любом значении коэф­ фициента k, в частности при кфО. Точно так же получается сразу, что любая часть линейно не¬ зависимой системы векторов будет линейно независимой системой. В самом деле, если бы эта часть была линейно зависимой, то было бы возможным составление линейной комбинации её векторов, равной нулю и содержащей хотя бы один отличный от нуля коэф­ фициент. Но эта линейная комбинация была бы также линейной комбинацией векторов в с е й с и с т е м ы , что, очевидно, противо­ речит линейной независимости последней. Условимся называть две системы векторов эквивалентными, если каждый вектор любой из них можно выразить линейной комби­ нацией векторов другой системы. Так, если на плоскости взять три вектора х, у, z, связанные соотношением z = x-\-y, то системы векторов { х , у}, {х, у, z}, а также и {у, z\ будут эквивалентными. Например, эквивалентность первых двух из этих систем следует из справедливости равенств X х= у=\у, 1х, У Z Ах, содержание которых сводится именно к тому, что каждый вектор одной из этих двух систем является линейной комбинацией векто­ ров другой системы. Определённая так эквивалентность обладает следующими свой­ ствами: Любая система векторов эквивалентна самой себе. Если одна система векторов эквивалентна другой системе, то и другая система эквивалентна первой. Если каждая из двух данных систем векторов эквивалентна одной и той же третьей системе, то две первые системы также эквивалентны друг другу. Убедиться в справедливости этих утверждений предоставляется самому читателю. Важное свойство линейно независимых систем векторов указы­ вает следующая Т е о р е м а о з а м е н е . Пусть конечная линейно независимая система a с , . . . , а векторов такова, что каждый её вектор lt а п 4»