* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГЛАВА П ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ § 8. Векторные пространства. Абстрактная точка зрения Введённое в предыдущей главе понятие /z-мерного числового пространства по существу является не обобщением, а только ана­ логом понятия векторного пространства элементарной геометрии. Для того чтобы получаемые нами результаты можно было при­ менять как к тому, так и к другому пространству, целесообразно отказаться от каких-либо ограничений природы тех объектов, кото­ рые мы называем векторами. Это можно сделать, исходя из такого определения: Любая совокупность L каких-либо элементов называется век­ торным пространством над данным числовым полем К, если: 1. Установлено некоторое правило, ставящее в соответствие каждым двум элементам а и b нашей совокупности некоторый третий элемент а -\~ b той же совокупности, называемый суммой данных элементов а и Ь. 2. Установлено некоторое другое правило, ставящее в соот­ ветствие каждому элементу а нашей совокупности и каждому числу k из поля К некоторый элемент ka совокупности L . 3. Оба эти правила удовлетворяют следующим требованиям (аксиомам): I . Для любых элементов a, b и с совокупности L имеют место соотношения'. а) a-\-b=b-\-a (коммутативность), б) (a~[-b)~\~c = a-\-(b-\-c) (ассоциативность). I I . В совокупности L существует элемент 0 (нулевой элемент) такой, что а - | - 0 = а для любого элемента а из нашей сово­ купности. III. Для каждого элемента а из L существует такой элемент — а, называемый «противоположным» для а, что а - } - ( - - а) = 0.