* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 19 Конечно, все возникающие на этом пути понятия должны быгь точно определены, т. е. сведены к известным уже нам математиче­ ским понятиям. Прежде всего о числах. Просмотр «алгебраической» части § 1 убеждает нас в том, что во всех проведённых там алгебраических вычислениях природа рассматриваемых чисел безразлична: важно только то, что над этими числами можно производить четыре основ­ ных алгебраических действия, и эти действия подчиняются обычным законам. Это позволяет нам рассматривать каждый раз не все числа, имеющиеся в нашем распоряжении, а любые их совокупности, внутри которых можно выполнять указанные основные операции- Таким образом, мы приходим к понятию числового ПОЛЯ. Числовым полем мы будем называть любую совокупность чисел, обладающую тем свойством, что сумма, разность, произведение и частное (при рассмотрении частного предполагается, что делитель отличен от нуля) любых двух чисел этой совокупности являются числами той же совокупности *). Совокупность всех комплексных чисел удовлетворяет этому усло­ вию и поэтому является числовым полем. Точно так же числовыми полями являются совокупность всех действительных чисел и сово­ купность всех рациональных чисел. Эти три числовых поля наиболее часто встречаются в приложениях и поэтому наиболее важны. Однако существуют и другие поля: например, как читатель легко убедится, совокупность всех чисел вида a -\-b j / 2 , где а и Ъ—любые рацио­ нальные числа, также является полем. Для нас в дальнейшем будег во многих случаях безразлично, какое именно числовое поле рассматривается. В таких случаях мы для удобства будем обозначать всё это поле одной буквой. Итак, пусть К—некоторое числовое поле, а п — некоторое натуральное число. п-мерным числовым вектором над полем К мы будем называть любой столбец, составленный из п чисел нашего поля. Как мы видели, векторам на плоскости соответствуют столбцы из двух действительных чисел. Теперь в смысле только что введённого определения сами эти столбцы являются двухмерными числовыми векторами над полем действительных чисел. В определённый таким образом оборот речи целесообразно ввести следующее упрощение: если рассматриваются векторы всё время над одним и тем же полем, то указание этого поля мы будем простд опускать. Точно так же будет опускаться и слово «числовые», так как никаких других векторов мы пока не будем рассматривать. Назвав столбец из чисел вектором, естественно назвать сами числа, из которых столбец составлен, координатами этого вектора. ) См. Э. э. м., кн. I , И. В. П р о с к у р я к о в , Понятия множества, группы, кольца и поля. Теоретические основы арифметики* 2* 1