* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

380 СЧЁТ И СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ § 6. Различные способы оценки точности приближённых значений Имея дело с приближёнными равенствами вида je я » а, мы должны, прежде всего, выяснить точный их смысл. Что, в самом деле, означает выражение «икс приближённо равен такому-то числу» ? Приближённое равенство х^а получает совершенно опреде­ лённый смысл, если оно сопровождается указанием границы абсо­ лютной погрешности, т. е. такого числа Д а ^ > 0 , прибавление кото­ рого даёт число а - [ - Д а , заведомо большее истинного (неизвестного нам) значения х, или так называемую высшую границу х (ВГх), а вычитание — число а — Да, заведомо меньшее лг, или так назы­ ваемую низшую границу х (НГлт). Так, например, равенство х^27Л ( ± 0 , 1 ) кг означает, что 27,4 — 0 , 1 = 2 7 , 3 кг меньше лг, а 27,4 - j - 0,1 = 27,5 кг больше х. Общепринятая запись х^&а ( ± Да) равносильна, таким образом, двойному неравенству а — Аа<^х<^а-±- Да. Обратно, зная НГх и ВГх, т. е. имея двой­ ное неравенство вида р<С^ Ся> легко находим приближённое зна­ чение а =-У~Ри границу абсолютной погрешности Да = х< Приближённое равенство хр^а ( ± Да) означает следующее: «икс приближённо равен а с границей абсолютной погрешности, рав­ ной Да» или «икс приближённо равен а, отличаясь от а в ту или другую сторону меньше чем на Да». В некоторых случаях строгое неравенство а — Д а < ^ х < ^ а - | - Да заменяется неравенством более общего вида а — La^x^a-\La. Согласно твёрдо установившейся со времён Гаусса традиции все приближённые числа, приводимые в математических таблицах, имеют границы абсолютной погрешности, равные половине единицы последпего имеющегося в них разряда. Например, найдя в таблице лога­ рифмов l g 7 0,8451, мы можем быть уверены, что истинное зна­ чение l g 7 отличается от 0,8451 меньше чем на 0,0001:2 = 0,00005, и что, следовательно, 0,84505 lg 7 < 0,84515. Точно так же, найдя в таблице tg 89°59' ^ 3438, мы можем быть уверены, что 3437,5 < tg 89°59' < 3438,5. Возможно и употребительно другое определение границы абсо­ лютной погрешности, совершенно равносильное указанному выше. Полагая х=а-\-Ь, называют число 6 = л г — а (оно неизвестно, если неизвестно х) абсолютной погрешностью или просто погрешностью приближённого числа а, а границей абсолютной погрешности этого приближённого числа называют любое число Д а ^ > 0 , удовлетворяю­ щее неравенству | Е | Д а или | х — а\<^Аа или, что то же, двойному неравенству — А а < ^ х — а < ^ Д а . Прибавляя а ко всем трём частям этого последнего неравенства, получим неравенство а — Д а < ^ х < ^ а -|- Да, которым пользовались для первого опреде-