* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

352 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ как е и *г, в то же время до сих пор ничего не знаем об арифме­ тической природе некоторых чисел, так сказать, внутриарифметического происхождения. В качестве примера он указал на число 2^2* и вообще на числа вида аР, где а и р — алгебраические числа, при­ чём а отлично от 0 и 1, a р — иррационально (в частности, таким числом является е , так как из е =—1=/ следует e = i~ ). Эта задача Гильберта получила весьма широкую известность; однако в течение тридцати лет в этом направлении не было получено ни­ каких результатов, и казалось, что и подхода к этому кругу проблем никакого не видно. Но в 30-х годах нашего столетия тогда ещё очень молодой советский учёный А. О. Гельфонд открыл весьма сильный общий метод, основанный на теории функций комплексного переменного и позволивший решить задачу Гильберта сначала для некоторых классов, а затем (в 1936 г.) и для всех указанных Гиль­ бертом чисел: Гельфонд доказал, что все эти числа без исключения трансцендентны. Замечательные методы, созданные советским уче­ ным, были затем им самим постепенно усовершенствованы и в на­ стоящее время дают возможность устанавливать трансцендентность весьма широких классов чисел. к ы а K 2i Литература 1. Полное собрание сочипспий П. Л. Ч е б ы ш е в а , т. I , Теория чисел. Издательство АН СССР, M.-JL, 1944. В этом томе собрапы все классические произведепия П. Л. Чебышева по теории чисел, а имеипо: его «Теория сравнепий», представляющая пре­ восходный, ясно и доступно написаппый курс теории чисел, исследования закопа распределения простых чисел в натурапьном ряде и др. 2. В и н о г р а д о в И. М., Основы теории чисел, издапие пятое, перера­ ботанное. Гостехиэдат, М. — Л., 1949. Сжато, но просто и отчётливо написанный курс теории чисел, содер­ жащий значительное количество оригинальных задач и вопросов с решениями. 3. А р н о л ь д И. В., Теория чисел, Пособие для пединститутов, Учпед­ гиз, М., 1939. Хороший учебник теории чисел, включающий, помимо основного элемен­ тарного курса, много сведений из других отделов современной теории чисел, частично без доказательств. В конце книги даны упражнения по теории чисел. 4. Д и к с о н Л. £., Введение в теорию чисел, Обработаппый перевод с англ. Вып. I , Тбилиси, 1941. Книга ценна собрапием задач, особенно па неопределённые уравпения высших степеней, спабжёипых в русском издании подробными решениями. 5. Д е л о н е Б. Н., Петербургская школа теории чисел. Издательство АН СССР, М. — Л., 1947, Книга в хронологическом порядке знакомит с творчеством крупнейших русских ученых, работавших по теории чисел: П. Л. Чебышева, А. Н. Коркина, Б. И. Золотарёва, А. А. Маркова, Г. Ф. Вороного и И. М. Виноградова. 6. Ш н и р е л ъ м а и Л. Г., Простые числа, Гостехиэдат. М. — Л., 1940. Небольшая (60 стр. малого формата), по весьма содержательная бро­ шюра, представляющая введение в теорию чисел. В неё входят: основы теории сравнений, осповы арифметики комплексных чисел, некоторые ре­ зультаты Чебышева с упрощёнными доказательствами и др.; за исключе­ нием последнего параграфа, доступна учащимся десятого класса средней школы.