* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

346 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Если теперь 1 > 0 и натуральное число п заданы произвольно, и если число k ^ n настолько велико, ч т о - ^ - < ^ Х , то Як Як ^«rSs « г Ч\ * Поэтому число о согласно теореме Лиувилля не может быть алге­ браическим числом степени п; а так как п произвольно, то число а вообще не может быть алгебраическим. Теперь проведём построение примера трансцендентного числа без всякого алгорифма. Начнём с любой несократимой дроби—. .Окружим её отрезком 1 ~ Wi 4i' Яг^ЯгГ В отрезке Aj выберем другую несократимую дробь — , так Ял чтобы Яъ^>Яи и окружим её отрезком \я* яГ я^я1!' Вообще, если отрезок Д _, уже построен, то мы выбираем в нём л произвольно несократимую дробь —, так чтобы q ^>q -v тя жаем её отрезком n n и окру­ Этот процесс мы можем продолжать безгранично. Покажем, что от­ резок Д целиком лежит внутри отрезка Д (л ^ 2 ) . В самом деле, если бы, например, правый конец Д„ лежал правее правого конца Д _! (или совпадал с ним), т о это означало бы: Рп^ Pn-i I * ^-Рп I I п п - 1 л Я п Яп-\ Я%-1 Я п Яп откуда qX Но средняя часть этих неравенств есть положительная дробь со зна­ > „ _ , ^ =! Ч п менателем q*—} q \ значит, она не меньше чем — ^ — , и получаем: n Чп— \Яп 1 Я -\Яп п П _1 < откуда q ^q -u неверно. Итак, Д целиком содержится внутри Д ^ ; а так как при п оо длина отрезка Д„ стремится к нулю, то существует единственное число а, принадлежащее всем отрезкам Д ( / z = l , 2, . . . ) . n n я п 4 X 0