* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

344 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ противоречие показывает, что многочлен / (х) не может иметь рациональных корней. По теореме Безу из / ( а ) = 0 следует, что тождественно f(x) = (x-a)y(x), Полагая j c = ~ , мы находим: где &(х) — многочлен степени п—1- '(f)-G-M0Kf)i«p. Так как по доказанному _ | а р + а р - д+ 0 1 п п 1 ' « > о) » Допустим теперь, что ^ есть рациональная дробь, лежащая в от­ резке ( а — I , а - | - 1 ) , и обозначим через Ч наибольшее значение функции |ф(лО| в этом отрезке, так что, в частности, ... +а*Г то|/^^|^^п,и соотношение (4) в силу неравенства (5) да€т: !а — i l > J - Так обстоит дело для любой рациональной дроби —, принадлежаЯ щей отрезку ( а — 1 , а - j - l ) . Но если £ то Р лежит вне этого отрезка, Я t т * поэтому, если л означает меньшее из чисел I и л ю б о й рациональной дроби - 1 ., г то уже для Мы приходим, таким образом, к следующему общему предложению, составляющему основу метода Лиувилля: Т е о р е м а Л и у в и л л я . Для всякого алгебраического числа а степени п существует такое положительное число X, что, какова бы ни была рациональная дробь имеет место неравенство (6). Я Вглядимся в смысл этого предложения. Мы знаем, что для лю­ бого иррационального числа а существует бесчисленное множество