* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА 343 Обобщая эти замечания, мы естественно приходим к общему рассмотрению таких действительных чисел, которые являются кор­ нями какого-либо алгебраического уравнения 0^ 0 ХУ + 4***+... п + а_х + а = 0 я 1 я (3) с целыми а , а ... , а . Такие числа называют алгебраическими. Если число а служит корнем уравнения (3), но не удовлетворяет никакому уравнению того же типа степени < ^ я , то а называют ал­ гебраическим числом порядка п (или степени п). Таким образом, рациональные числа могут быть определены как алгебраические числа первой степени (или первого порядка), \/ 2 есть алгебраиче­ ское число второй степени и т. д. Первый и основной вопрос, встающий после введения этого но­ вого понятия, очевидно, гласит: существуют ли такие действитель­ ные числа, которые не являются алгебраическими, т. е. не удовлет­ воряют никакому уравнению типа (3) с целыми коэффициентами? Первый ответ на этот вопрос, а также и первые примеры таких неалгебраических чисел были даны Лиувиллем около середины XIX столетия. Путь Лиувилля был следующий: сначала он показал, что для алгебраических чисел при их приближении рациональными дро­ бями необходимо должны наблюдаться некоторые специфические закономерности; потом он легко построил примеры чисел, прибли­ жение которых этим закономерностям не подчиняется и которые, следовательно, не могут быть алгебраическими. Все неалгебраические числа называются трансцендентными (т. е. «выходящими за пределы»). Трансцендентные числа Лиувилля, к по­ строению которых мы сейчас перейдём, были исторически первым примером этого рода чисел. Пусть а — алгебраическое число степени л, удовлетворяющее уравнению (3) (и не удовлетворяющее никакому уравнению низшей степени). Будем для краткости обозначать через f(x) левую часть уравнения (3), так что / ( а ) = 0. Если бы многочлен f(x) имел ра­ циональный корень р то / (х) делилось бы по теореме Беэу на а * х—j, и мы имели бы me.fi(x)— многочлен степени п — 1 с рациональными коэффициен­ тами. Так как / ( а ) = 0 и а — ^ - ^ О , то мы имели бы: / j ( o ) = 0; если обозначить через g общий знаменатель коэффициентов много­ члена / I ( J C ) , то gfi (х) есть многочлен степени п—1 с целыми коэффициентами и g / , ( а ) = 0, что невозможно, так как а есть, по* предположению* -^гебраическое число степени я . Полученное