* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

340 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Тем более замечательно, что если число а иррационально, то, каково бы ни было Р , неравенство (16) при любом е ^ > 0 может быть реализовано надлежаще выбранными целыми х, у. Проще всего это может быть доказано следующим рассуждением. Из тео­ рии цепных дробей мы знаем, что для иррационального а целые числа q и р могут быть выбраны так, что ° < 9 а — Р<*> положим для краткости ность чисел qa—р = \ и рассмотрим АХ,• • • последователь­ 0, \ , 2Х, . . . , Очевидно, найдётся такое A^sO, что А Х ^ р < ( А + 1 ) Х ( откуда \kl — $\ = \kqa—kp B — Р | < Х < Е , так что, полагая x=kq, y = kp мы действительно реализуем не­ равенство (16). Д о сих пор мы занимались только вопросом о возможности при­ ближённого решения уравнения (15) с любой наперёд заданной степенью точности, не спрашивая себя о том, как велики будут числа х и у, потребные для этой цели. Можно, однако, пойти в этом направлении гораздо дальше и установить для неоднородной задачи законы, вполне аналогичные тем, какие мы нашли в преды­ дущем разделе для однородной задачи. Мы ограничимся доказатель­ ством теоремы, принадлежащей Чебышеву и составляющей важней­ ший результат его замечательного исследования. Т е о р е м а 9. Если а — иррациональное, р — любое действи­ тельное число, то существует бесчисленное множество целых значений чисел х и у, для которых \ ~ - У - 1 \ < щ . Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть ^- — подходящая так что I ж|^ ? 1 дробь числа а, обозначим через г ближайшее к произведению q$ целое число, так что t t f - r i * - j 2 • IP-4- q I f r - 2, ' 1 < > 17 Как мы знаем из главы I I , сравнению px = r (mod q)