* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ 339 также не могло бы быть установлено известными алгорифмическими методами и является замечательным достижением метода Дирихле. Вступив на этот путь обобщений, наука скоро увидела здесь перед собой неисчерпаемое поле для исследований. От общего ли­ нейного однородного уравнения, которым мы только что занима­ лись, представилось естественным перейти, с одной стороны, к си­ стемам таких уравнений, а с другой, — к неоднородным уравнениям. Можно, конечно, вообще не ограничиваться одними только линей­ ными уравнениями, а перейти к алгебраическим уравнениям высших степеней, а затем и к некоторым трансцендентным уравнениям. Так создавалось учение о приближённом решении уравнений в целых числах, которое, по предложению Минковского, принято теперь на­ зывать теорией диофантовых приближений — наименование очень удачное, так как диофантовыми уравнениями называют уже давно уравнения, в которых неизвестные могут принимать только целые значения. Основоположниками этого учения были Дирихле, Чебышев, Кронекер и Минковский. В частности, Минковским был создан в этой области глубокий и очень сильный метод, состоящий в систе­ матическом применении к задачам теории чисел геометрических закономерностей (так называемая «геометрия чисел»). Простейшая из неоднородных линейных задач этой области со­ стоит, очевидно, в исследовании законов приближённого решения уравнения ха—у— р=0, (15) где а и р — данные действительные числа, а х и у—целочислен­ ные неизвестные. Эту задачу впервые поставил и далеко исследовал великий русский учёный П. Л. Чебышев. Если предположить, что О <^ Р <^ 1 (что, очевидно, не ограничивает общности постановки задачи), то у=[ха], и задача Чебышева состоит в исследовании таких целых значений х для которых дробная часть произведения ха близка к данному заранее числу р, подобно тому как прежде мы искали значения х, для которых эта дробная часть близка к н у л ю . Уже самая возможность при любом е ^ > 0 подобрать целые х, у так, чтобы | ^ а - у - р | < е (16) 9 (т. е. возможность приближённого решения уравнения (15) с любой степенью точности), здесь совсем не ясна с самого начала. Если, например, число e = j к рационально, то ясно, что ха—у при любых, целых х у также будет рациональной дробью со знамена­ телем Ь; поэтому, если р отстоит на расстояние 3 от ближайшей к нему дроби со знаменателем Ь, то неравенство |* _3,_P|<8 a невыполнимо ни при каких целых х и у, 32 *