* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

332 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Доказательство. стороны числа а, то из Так как дроби рL 1 I Я и ^ лежат по разные Я />' ! ^ 1 следовало бы: \я' или что очевидно неверно. Этим теорема б доказана. Таким образом, всякое иррациональное число а имеет бесконеч­ ное множество таких подходящих дробей что я Г Т|<2?в Сам собою встаёт здесь вопрос о возможности усиления этого ре­ зультата: нельзя ли заменить здесь постоянную */я правой части неравенства другою, меньшей постоянной с, которая выполняла бы ту же самую роль, т. е. для любого иррационального числа а суще­ ствовало бы бесчисленное множество таких подходящих дробей р I с я I ^ я* е с т в ю т И если такие числа ^"C'g" У Щ У 1 то каково наименьшее из них? Решение этого вопроса означает в известном смысле отыска­ ние наилучшего универсального (т. е. имеющего место для любой иррациональности а ) закона приближения действительных чисел рациональными дробями. Гурвиц доказал, что наименьшее допустимое значение постоян­ ной с есть - ^ = . Несколько позднее Борель показал, что из любых трёх у 5 последовательных подходящих дробей любого числа а по меньшей мере одна даёт требуемое приближение; таким образом, имеет место Т е о р е м а 6. Если EIL. , — три последовательные Яп Яп+i Яп+9 подходящие дроби числа а, то имеет место по меньшей мере одно из трёх неравенств Ел Яп Рп+*\^* 1 Яп+л \ ^ У 5 л+я ^