* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

330 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Тогда имеет место следующая теорема, также принадлежащая Лежандру: Теорема 4. Для того чтобы дробь ~ и достаточно, была подходящей дробью числа а, необходимо чтобы \9—Р\<Т±?П р и м е ч а н и е . Так как всегда g-\~g'<^^9t является непосредственным следствием теоремы 4. Доказательство. много раз, при этом *) 1) Если т о (8) теорема 3 есть подходящая дробь числа а, т о ^ - есть предшествующая подходящая дробь; как мы видели где д" есть знаменатель следующей за подходящей дроби. Но в силу зако'на образования подходящих дробей д" может быть пред­ ставлено в виде ад-\-д\ где а ^ 1 , и следовательно, q^^g^g't так что j необходимость признака, таким образом, установлена. 2) Пусть теперь, обратно, имеет место неравенство (8). Мы всегда можем (и притом единственным образом) определить дейст­ вительное число Р так, что (для этого достаточно решить написанное уравнение относительно р). Пусть разложение числа р в цепную дробь есть р = [ а ; а ^ ...]; покажем, что а ^^\, для чего достаточно убедиться, что Р ^ Ь Согласно неравенству (8) я + 1 п itf+p' р\_. ! ^ Ч ° ТКуда fP+Of + f и, следовательно, Р ^ > 1 . *) Мы предполагаем здесь цо.фр\ это не ограничивает сбщпости, так как при q&=p неравенство (8) тривиально.