* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ 329 Воспользовавшись теоремой 2, мы можем так теорему 3: если q^>0 и то — является сформулировать наилучшим приближением числа а. ^ та¬ Я Доказательство. кая, что ?'>0 и Пусть 'дана рациональная дробь \q' —p'\*Z\qa-p\^±. a (а) в том, что Для доказательства теоремы достаточно убедиться q'^q. В самом деле, из неравенств (а) имеем: Р' Я • J 1 I *ЯЯ / 9 2ф ; в предположении q ф q' (и, следовательно, ^Ф^г отсюда вытекает: ЛР'Ч — Ч'Р\^ J_ откуда W e q' ^ 2 ^ + 2?' 2q<~^2q' т. е. q'^q f что и требовалось доказать. есть Теорема 3 даёт очень простой признак того, что дробь одна из подходящих дробей числа а; однаюэ^признак этот не яв­ ляется характеристическим: число а может, вообще говоря, иметь бесчисленное множество подходящих дробей, не обладающих этим признаком. Можно было бы убедиться, что вообще необходимого и достаточного признака вида где а — постоянное число, существовать не может. Можно, однако, всё же указать для подходящих дробей числа a характеристический (т. е. необходимый и достаточный) критерий достаточно простого вида. Разложим данную дробь дробь р через р — — в цепную — L o> v a a r 1 a 2» • • • » a n\ и обозначим разложения: у * предпоследнюю подходящую дробь г Л этого 1я ; 0 а, д а, 8 . . . , a„_iJ-