* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

328 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В самом деле, если дробь ~ не есть подходящая дробь числа а, то пусть п таково, что 9 Ся СЯп+1 венства (7) тогда < < п Х У> т а к к а к в С И Л У н е Р " а I ЧгР—Рп \ ^ \Я*—РI (Яп<я)> то не может служить наилучшим приближением второго рода для числа а. Таким образом, мы можем считать установленным следую­ щее предложение: Т е о р е м а 2. Все подходящие дроби данного числа и толь/со они являются наилучшими приближениями второго рода. Можно было бы показать, что теорема 1 не допускает обраще­ ния, подобного только что проведенному: кроме подходящих дро­ бей, в качестве наилучших приближений п е р в о г о р о д а могут выступать и другие дроби. Таким образом, мы в рассматриваемом случае как раз имеем пример такого положения вещей, когда рас­ смотрение разностей типа \да—р\ приводит к результатам более простым и законченным, чем для разностей типа а—-у . Вместе с тем теорема 2 естественно ставит перед нами и одну новую задачу. Пусть нам даны действительное число а и рациональ­ ная дробь как узнать, будет ли у подходящей дробью числа а ? В известном смысле теорема 2 на этот вопрос отвечает: надо по­ смотреть, будет ли дробь — для числа а наилучшим приближением второго рода. Однако такой ответ нас мало удовлетворяет, так как этим путем нам придётся сравнивать данную дробь со всеми дро­ бями, имеющими меньшие знаменатели; мы естественно хотим иметь такие признаки, которые позволили бы нам решить постав­ ленный вопрос, привлекая к рассмотрению только число а и дан­ ную дробь —. Пример замечательно простого признака такого рода даёт нам доказанная ещё Лежандром Т е о р е м а 3. Если д^>0 и \Я*~Р\^> то ~ есть подходящая 1 п дробь числа а. ) Случай q=qn, рфр мы можем не рассматривать; легко вилеть, что такая дробь не может быть наилучшим приближением второго рода, так как, например, при q = q >\ рфр | ^ г — р | = |(^ а —р ) + n t П9 я п 4-{Рл— / 0 1 3 * 1 — \Яп*— р | > 1 — — > — > | f l i - i — Ai-iN Чп+i Чп e я