* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ СИСТЕМАТИЧЕСКИМИ ДРОБЯМИ 319 то, заставляя в полученном равенстве г безгранично возрастать (при неизменном k), мы в пределе находим (если положить а = а) 0 а> = а + ^ л (А^О). А (6) Так как при kT^l соотношения (6) (где и а ^ 1 , то а ^ > 1 для k = l, 2, . . . Поэтому А < Г 0 дают: а это означает, что = (А^О). (7) Таким образом, если число а представляется какой-либо беско­ нечной цепной дробью (б), то элементы этой дроби могут быть рекуррентно найдены следующим простым процессом: 1) а = [а]; 2) если числа а и а уже найдены для i^k, то а определяется соотношением (6), а затем a определяется в силу (7) как [ a ] . Мы приходим, таким образом, к чрезвычайно важному выводу: если число а может быть представлено бесконечной цепной дробью, то элементы этой дроби по числу а определяются однозначно. Это показывает, что представление числа а в виде бесконечной цепной дроби, если оно существует, является единственным; другими сло­ вами, не может существовать двух различных бесконечных цеп­ ных дробей, представляющих одно и то же число. 0 ; £ м k+i A+] Заметим теперь, что в случае, когда число а = -$ рационально, наш процесс последовательного построения чисел а „ о^, выра­ жаемый рекуррентной формулой (6), шгчем не отличается от того процесса, с помощью которого мы в Алаве III (стр. 297) разлагали число * у в цепную дробь, и наши числа cc , а „ а , . . . — не что t o 2 иное, как построенные там числа дели, что в случае рационального « = димо о б р ы в а е т с я , k , —, — , . . . Но там мы ви¬ этот разряд чисел необхо­ k т. е. одно из чисел a = ^=^- оказывается kv м целым, так что a = a и а по формуле (6) уже не может быть определено. Теперь же мы видим, что если число а может быть представлено бесконечной цепной дробью, то для него процесс, определяемый соотношением (6), никогда не может закончиться и продолжается безгранично. Из этого сопоставления вытекает, оче­ видно, что ни одно рациональное число не может быть представ­ лено бесконечной цепной дробью и что, следовательно, все числа, представляемые бесконечными цепными дробями, иррациональны. Чтобы завершить этот круг исследований, нам остаётся показать, чги всякое иррациональное число действительно может быть пред-