* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
318
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Т е о р е м а 7. Каждая бесконечная цепная дробь (5), в кото* рой а — любое целое число, а а,, а , . . а , . . . — любые ноту* ральные числа, представляет определённое действительное число а, определяемое как
0 2 п
l i m f£-= Л/?и э т о ж д л я любого и для любого п^О
—
Hm [а ; а „ а , ..., а ].
0 9 п
k_^0
^
0Я
к
I
?Л0Я+1
'
Во всём предшествующем мы считали дробь (5) данной и искали представляемое ею действительное число а. Теперь мы переходим к решению обратной задачи. Пусть дано любое действительное число а; постараемся узнать, существует ли представляющая это число цеп ная дробь, и если существует, то сколько таких дробей и как они могут быть найдены. С этой целью допустим сначала, что число а представляется бесконечной цепной дробью (5), и постараемся выразить через а элементы а этой цепной дроби. Так как мы уже знаем (теорема 7), что любая бесконечная цепная дробь представляет некоторое дей ствительное число, то, в частности, мы можем определить числа
п
a
i =
[ i\
a
<*2» a ,
s
а
пУ
...],
=
[а ; а , а ,
2 8 4
а ,
п
...J,
и вообще
a
k = l .:l к+и
a
а
a ,
k+s
...]
(AS* 1).
ft+1
Очень легко установить соотношение между числами а и a % В самом деле, условимся обозначать через подходящие
и
.
дроби
'г
;
той цепной дроби, которая определяет a , и через — рая определяет a ; тогда
ft A+i
той, кото
f - Ы а
r
и
ш
,а
ш
, ..., а „] - а
к
к
+
,
[flft+i:
flfr+s
flft+rf
-
1
г—I
