* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ СИСТЕМАТИЧЕСКИМИ ДРОБЯМИ 87 1 Точно так же подходящие дроби нечетного порядка образуют убы­ вающую последовательность Ре \ \ P&+i \ все члены которой остаются больше чем — ; поэтому существует Яш предел lim А*±_'_ р. = ft — ooVsft+i Вместе с тем мы имеем для любого к^О и значит, О^Й — а < ^ - — ^*- = — - — . ЯаЬ п t Я*кЯ*Ь+1 п Но в силу свойства 1 д ^>g„_ (п^ 1), так что д безгранично возрастает при п о о . Поэтому правая часть последнего неравен­ ства сколь угодно мала при достаточно большом k\ а так как р — a от к не зависит, то р = а . Таким образом, для каждой бесконечной цепной дроби сущест­ вует предел lim -*r = a, который мы естественно и примем за значение этой дроби- Мы бу­ дем также говорить, что бесконечная цепная дробь (б) «предста­ вляет» число <ц при этом, очевидно, для любого к^О Далее, отсюда же следует, что при любом « ^ = 0 Яп \^ Pn+i Яп+к Рп _ * Яп I ЯпЯп+1 Так как ^ - = [ о ; a Яп 0 u а 9 , а п ] ( я ^ О ) , то предельное соот- ношение, связывающее цепную дробь ( 5 ) с её подходящими дро­ бями, может быть переписано и в следующей выразительной форме: [a ; a], a , 0 s a„, . . . ] = lim [а ; а 0 и а , а а \. п п -* со Полученные нами до сих пор результаты мы соберём в следую­ щем предложении: