* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ СИСТЕМАТИЧЕСКИМИ ДРОБЯМИ 315 ело Ь не имело иных простых делителей, кроме простых дели­ телей числа к. Наконец, совокупность доказанных нами теорем показывает, что все иррациональные числа и только они представляются непериоди­ ческими ft-ичными дробями. Таким образом, нами установлены теперь все основные законы взаимного соответствия между ариф­ метической природой представляемого числа и типом представляю­ щей его систематической дроби. Важнейший из этих законов со­ стоит в том, что независимо от выбранной системы счисления рациональные числа имеют периодические, а иррациональные—-не­ периодические представления. Дальнейшие особенности представле­ ний рациональных чисел зависят уже, как мы видели, от арифме­ тических связей этих чисел с выбранной системой счисления. § 12. Цепные дроби В главе I I I мы видели, что всякое рациональное число одно­ значно представляется цепной дробью, [а ; а,, а ] и что, обратно, всякая такая дробь представляет некоторое определённое рацио­ нальное число. Поэтому, если мы хотим охватить аппаратом цепных дробей и числа иррациональные, то должны, прежде всего, заняться расширением самого этого аппарата. Таким естественным расши­ рением представляется введение бесконечных цепных дробей, т. е. выражений вида 0 п а -\ а — } = [л ; и 0 а e , - ..F а , . . . ] , a а (5) а — целое число, а а , а , а , . . . — натуральные числа. Само собою разумеется, что такого рода выражение не имеет никакого определённого смысла до каких-либо специальных согла­ шений по этому вопросу ). Чтобы прийти к таким целесообразным соглашениям, заметим, прежде всего, что мы можем для формально определённой дроби (5), Л х 2 п 1 где ') Вспомним, что и аналогичное формальное определение систематиче­ ской дроби с помощью последовательности цифр а д , а . . . такжг не придавало этому символу' определённого реального смысла, покуда мы не и 8 т СО согласились приписывать ему значения