* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

314 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ r r Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть число k a=k г имеет несократио' мую форму -р. Если г достаточно велико, то при этом все входя­ щие в b общие множители чисел b и k сократятся, так что мы можем считать Ь' взаимно простым с ft. Пусть [k a] = g r 9 (o<=? .. . b = b ( л = 1 , 2 , . . . ). Но, обозначая через 0,a,a .. . а . . . дробь, представляющую число а, мы будем иметь в силу ( 2 ) и (3) для любого л ^ 1 откуда a r+n+h = r+n t 3 a (Л = 11 2 , . . . ) . п Это показывает, что дробь 0, a а . . . а ..., представляющая число а = ~ , — периодическая. Она не может быть чисто периодической, так как тогда, в силу дополнения к теореме 4, b было бы [взаимно просто с ft. Этим теорема 6 доказана. П р и м е ч а н и е . В частности, если все простые множители, содержащиеся в числе Ь содержатся и в числе k то V = \\ а так а" 9 9 как 0^у<^1 9 то а" = 0 и, следовательно, Ь = 0 (« = п 1, 2,...); но тогда в силу ( 4 ) и вг+п = ° (п=\ 9 2,...), т. е. число = - представляется конечной дробью. Очевидно, что справедливо и обратное: всякая конечная дробь представляет рациое нальное число вида а = , где g — целое число; если поэтому несократимая форма дроби а есть |\ 9 то b не может иметь простых делителей, отличных от простых делителей числа ft. Поэтому мы получаем Д о п о л н е н и е . Для того чтобы число а представлялось конечной k-ичной дробью, необходимо и достаточно, чтобы оно было рационально и чтобы в его несократимой форме « = ? w -