* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ СИСТЕМАТИЧЕСКИМИ ДРОБЯМИ 313 Д о п о л н е н и е . Чисто периодическая циональное число а = ^, в котором = дробь представляет ра­ Ъ взаимно просто с k. рациональное число, что Т е о р е м а б. Пусть — такое Ь взаимно просто с k. Тогда а представляется чисто периодиче­ ской дробью. Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно теореме Эйлера (сгр. 279), мы имеем: 1 (mod Ъ), или, полагая для краткости tp(b) = h, k —l=bq, h где q — целое число. Поэтому а aq aq aq \ a ~b'~Tq~ k"—\ * ~ ~ — откуда = aq-\-a и, значит, при любом n S s l a n+h = [k a] n n+h - k\k n M a \ = [k (aq + a)] - k \#+ {aq + a)] = n n n = k aq - f [k a] — k aq — k [*"?a] = [k a] — k [k^a] = a . Этим теорема 5 доказана. П р и м е ч а н и е . Из теоремы 5 нельзя заключать, что период дроби, представляющей число а, равен h = q>(b)\ возможно, что период меньше h, так что h последовательных цифр этой дроби содержат не один, а несколько периодов. Вопрос о том, как по дан­ ным а и b найти длину периода, представляет значительный интерес, но*Здесь мы его рассматривать не можем. Это же относится и к аналогичным вопросам, возникающим в связи с теоремой 6. Т е о р е м а 6. Если b Яе взаимнд просто с k, то число = у (где а и b взаимно просты) представляется смешанно-периодиче­ ской дробью. а n